5.8 Анализ и оптимизация сетевого графика

После нахождения критического пути и резервов времени работ и оценки вероятности выполнения проекта в заданный срок должен быть проведён всесторонний анализ сетевого графика и приняты меры по его оптимизации. Этот весьма важный этап в разработке сетевых графиков раскрывает основную идею СПУ. Он заключается в приведении сетевого графика в соответствие с заданными сроками и возможностями организации, разрабатывающей проект.

Оптимизация сетевого графика в зависимости от полноты решаемых задач может быть условно разделена на частную и комплексную. Видами частной оптимизации сетевого графика являются: минимизация времени выполнения комплекса работ при заданной его стоимости; минимизация стоимости комплекса работ при заданном времени выполнения проекта. Комплексная оптимизация представляет собой нахождение оптимального соотношения величин стоимости и сроков выполнения проекта в зависимости от конкретных целей, ставящихся при его реализации.

Вначале рассмотрим анализ и оптимизацию календарных сетей, в которых заданы только оценки продолжительности работ.

Анализ сетевого графика начинается с анализа топологии сети, включающего контроль построения сетевого графика, установление целесообразности выбора работ, степени их расчленения.

Затем проводятся классификация и группировка работ по величинам резервов. Следует отметить, что величина полного резерва времени далеко не всегда может достаточно точно характеризовать, насколько напряжённым является выполнение той или иной работы некритического пути. Всё зависит от того, на какую последовательность работ распространяется вычисленный резерв, какова продолжительность этой последовательности.

Определить степень трудности выполнения в срок каждой группы работ некритического пути можно с помощью коэффициента напряжённости работ.

Коэффициентом напряжённости работы называется отношение продолжительности несовпадающих, но заключённых между одними и теми же событиями, отрезков пути, одним из которых является путь максимальной продолжительности, проходящий через данную работу, а другим — критический путь.

Этот коэффициент может изменяться в пределах от 0 (для работ, у которых отрезки максимального из путей, не совпадающие с критическим путём, состоят из фиктивных работ нулевой продолжительности) до 1 (для работ критического пути).

Обратим внимание на то, что больший полный резерв одной работы (по сравнению с другой) не обязательно свидетельствует о меньшей степени напряжённости её выполнения. Это объясняется разным удельным весом полных резервов работ в продолжительности отрезков максимальных путей, не совпадающих с критическим путём.

Вычисленные коэффициенты напряжённости позволяют дополнительно классифицировать работы по зонам:

• критическая К > 0,8,

• подкритическая 0,6 < К < 0,8,

• резервная К < 0,6.

Оптимизация сетевого графика представляет процесс улучшения организации выполнения комплекса работ с учётом срока его выполнения. Оптимизация проводится с целью сокращения длины критического пути, выравнивания коэффициентов напряжённости работ, рационального использования ресурсов.

В первую очередь принимаются меры по сокращению продолжительности работ, находящихся на критическом пути. Это достигается:

• перераспределением всех видов ресурсов, как временных (использование резервов времени некритических путей), так и трудовых, материальных, энергетических, при этом перераспределение ресурсов должно идти, как правило, из зон, менее напряжённых, в зоны, объединяющие наиболее напряжённые работы.

Например, можно увеличить сменность работ на «узких» участках строительства. Это мероприятие наиболее эффективно, поскольку позволяет добиться нужного результата при тех же ведущих машинах (экскаваторе, станке и т.д.), только увеличив численность рабочих.

• сокращением трудоёмкости критических работ за счёт передачи части работ на другие пути, имеющие резервы времени;

• пересмотром топологии сети, изменением состава работ и структуры сети.

• обеспечить проведение параллельных (совмещенных) работ;

• разделить широкий фронт работ на более мелкие захватки или участки;

• уменьшить продолжительность программы можно путем изменения применяемой технологии, например, в строительстве, заменой монолитных железобетонных конструкций сборными, другими сборными элементами, изготавливаемыми на заводе.

Проводя корректировку графика надо иметь в виду, что рабочих насыщают ресурсами до определенного предела (чтобы каждый рабочий был обеспечен достаточным фронтом работ и имел возможность соблюдать правила техники безопасности).

В процессе сокращения продолжительности работ критический путь может измениться, и в дальнейшем процесс оптимизации будет направлен на сокращение продолжительности работ нового критического пути и так будет продолжиться до получения удовлетворительного результата. В идеале длина любого из полных путей может стать равной длине критического пути или по крайней мере пути критической зоны. Тогда все работы будут вестись с равным напряжением, а срок завершения проекта существенно сократится.

Самый очевидный вариант частной оптимизации сетевого графика с учётом стоимости предполагает использование резервов времени работ. Продолжительность каждой работы, имеющей резерв времени, увеличивают до тех пор, пока не будет исчерпан этот резерв или пока не будет достигнуто верхнее значение продолжительности. Продолжительность каждой работы целесообразно увеличить на величину такого резерва, чтобы не изменить ранние сроки наступления всех событий сети, то есть на величину свободного резерва времени.

На практике при попытках эффективного улучшения составленного плана неизбежно введение дополнительно к оценкам сроков фактора стоимости работ. Проект может потребовать ускорения его выполнения, что, естественно, отразится на стоимости: она увеличится. Поэтому необходимо определить оптимальное соотношение между стоимостью проекта и продолжительностью его выполнения.

При использовании метода «время–стоимость» предполагают, что уменьшение продолжительности работы пропорционально возрастанию её стоимости. Возрастание стоимости при уменьшении времени называется затратами на ускорение.

Весьма эффективным является использование метода статистического моделирования, основанного на многократных последовательных изменениях продолжительности работ (в заданных пределах) и «проигрывании» на компьютере различных вариантов сетевого графика с расчётами всех его временных параметров и коэффициентов напряжённости работ.

Например, можно взять в качестве первоначального план, имеющий минимальные значения продолжительности работ и, соответственно, максимальную стоимость проекта. А затем последовательно увеличивать продолжительность выполнения комплекса работ путём увеличения продолжительности работ, расположенных на некритических, а затем и на критическом (критических) пути до удовлетворительного значения стоимости проекта. Соответственно, можно взять за исходный план, имеющий максимальную продолжительность работ, а затем последовательно уменьшать их продолжительность до такого приемлемого значения продолжительности проекта.

Процесс «проигрывания» продолжается до тех пор, пока не будет получен приемлемый вариант плана или пока не будет установлено, что все имеющиеся возможности улучшения плана исчерпаны и поставленные перед разработчиком проекта условия невыполнимы.

В настоящее время на практике сеть вначале корректируют по времени, т. е. приводят ее к заданному сроку окончания строи­тельства. Затем приступают к корректировке графика по критерию распределения ресурсов, начиная с трудовых ресурсов.

Следует заметить, что при линейной зависимости стоимости работ от их продолжительности задача построения оптимального сетевого графика может быть сформулирована как задача линейного программирования, в которой необходимо минимизировать стоимость выполнения проекта при ограничении, во-первых, продолжительности каждой работы в установленных пределах, а, во-вторых, продолжительности любого полного пути сетевого графика не более установленного срока выполнения проекта.

Постановка задачи оптимизации сетевой модели.

Полученное в результате расчетов время выполнения комплекса работ T_кр оказалось больше заданного директивного времени Т_g. Требуется уменьшить T_кр до Т_g. Для этого необходимо определить, как следует форсировать работы, чтобы Т_кр≤ Т_g при условии, что критический путь один и не изменяется. Очевидно, что следует форсировать критические работы, уменьшение длительности которых непосредственно скажется на времени Т_g. Форсирование работ требует дополнительных капитальных вложений. Задача формулируется следующим образом: какие дополнительные капитальные вложения и в какие работы следует вложить, чтобы общий срок выполнения Т_кр был не больше заданного значения Т_g, а дополнительные капитальные вложения на весь комплекс работ были минимальными.

Пусть комплекс состоит из m работ а₁, а₂, … , а_m; . И пусть n из них критические работы а₁, а₂, … , а_n; n≤m .

Пусть: а_к1, а_к2, … , а_кn – критические работы комплекса;

t_к1, t_к2, … , t_кn – время выполнения критических работ при условии, что и .

(1)

,

где

Т_кр – расчетное время выполнения комплекса работ;

Т_g – заданный срок выполнения комплекса работ;

x₁, x₂, … , x_n – дополнительные капитальные вложения в каждую критическую работу;

t`<sub>1</sub>, t`₂, …, t`_n – время выполнения каждой из критических работ, после вложения средств в каждую из них. Пусть известно, что в работу a_kj можно вложить средства x_j в размере не более, чем C_j.

И пусть при время выполнения работ уменьшается согласно зависимости

(2)

где

в_j – коэффициент переменных, распределяющий уменьшение времени каждой j-ой работы в зависимости от вкладываемых дополнительных средств. Обозначим:

T` – общее время выполнения комплекса работ после вложения средств;

Z – общая сумма дополнительных капитальных вложений .

Требуется определить значения переменных x₁, x₂, … , x_n, удовлетворяющих условиям:

(3)

так, чтобы

(4)

Формальная постановка задачи оптимизации сетевой модели.

Для решения задачи необходимо составить ограничивающие неравенства (5) и функцию цели (6), которые для данной задачи в общем виде записываются следующим образом:

(5)

(6)

где

x₁, x₂, … , x_n – исходные переменные или дополнительные средства, которые следует вложить в 1, 2,…, n работу, чтобы:

• срок выполнения комплекса работ был не выше заданного T_g;

• сумма дополнительных средств достигла минимума;

x₁, x₂, … , x_n0;

С_j, T_j – ограничивающие параметры (дополнительные средства, заданный срок выполнения работ) или свободные члены в неравенствах (5);

в_j – коэффициент при переменных, распределяющий уменьшение времени каждой j-ой работы в зависимости от вкладываемых дополнительных средств.

Требуется найти такие неотрицательные значения переменных x₁, x₂, … , x_n, которые обращали бы в минимум функцию цели (6) и удовлетворяли бы неравенствам (5).

Задача линейного программирования с переменными x₁, x₂, … , x_n, в которой ограничения, наложенные на переменные, имеют вид линейных неравенств, в стандартной форме имеет вид:

(7)

(8)

.

Требуется найти такие неотрицательные значения переменных x₁, x₂, … , x_n, которые обращали бы в минимум функцию цели (8) и удовлетворяли бы неравенствам (7).

От поставленной задачи перейдем к основной задаче линейного программирования (ОЗЛП), особенностью которой является запись линейных ограничений в виде равенств (9). Для перехода от неравенств к равенствам (уравнениям) введем n+1 добавочных переменных y₁, y₂, … , y_n+1 соответственно в каждое неравенство, которые будут равны:

(9)

Добавочные переменные, так же как исходные переменные x₁, x₂, … , x_n, должны быть неотрицательные, то есть z₁, z₂, … , z_n, z_n+10.

В ОЗЛП предусматривается запись всех переменных системы линейных уравнений слева, а свободных членов – справа от знака равенства. Имеем

(10)

(11)

Введем в пропущенные места уравнений и целевой функции переменные с нулевыми коэффициентами:

(12)

(13)

Требуется найти неотрицательные значения «n+(n+1)» переменных (из них n исходных x₁, x₂, … , x_n и n+1 добавочных z₁, z₂, … , z_n, z_n+1), чтобы они обращали в минимум линейную функцию этих переменных (13) и удовлетворяли системе линейных уравнений (12).

Блок-схема вычислительного алгоритма симплекс-метода.

Блок 1. Запись задачи ЛП в стандартной форме, в виде неравенств типа (7) и целевой функции (8).

Блок 2. Запись задачи ЛП в канонической форме с базисными переменными в системе линейных уравнений (10) и целевой функции (11) и со свободными членами. Составление исходной симплекс–таблицы из коэффициентов переменных.

Блок 3. Проверка неотрицательности свободных членов уравнений C_i0, . Если свободные члены отрицательные, надо найти опорное решение, которое будет не в начале координат. Если свободные члены положительны, переходим к блоку 4.

Блок 4. Проверка неотрицательности коэффициентов при переменных в целевой функции S_j0, . Если S_j≤0, то оптимальное решение задачи найдено. Если хотя бы одно S_j0, то переходим к блоку 5.

Блок 5. Выбираем ключевой столбец r по максимальному отрицательному коэффициенту при переменной в целевой функции

Блок 6. Проверка условия неотрицательного коэффициента при переменных в ключевом столбце. Если a_pr0, то система уравнений несовместна и допустимых решений не имеет. Если a_ir0, то переходим к блоку 7.

Блок 7. Выбор ключевой строки из условия минимального отношения свободного члена к коэффициенту при переменной в ключевом столбце:

.

Блок 8. Преобразование симплекс-таблицы. Переменную, соответствующую столбцу r, вводим в базис, а строке p – выводим из базиса, то есть положим ее равной нулю. Коэффициенты при переменных в ключевой строке в новой симплекс-таблице определяются делением этих коэффициентов на ключевой элемент a_pr, то есть

.

Блок 9. Вычисление коэффициентов остальных строк новой симплекс-таблицы по рекуррентным соотношениям:

.

Далее переходим к блоку 4.

На рис. 5.8.1 приведена блок-схема алгоритма симплекс-метода.

Рисунок 5.8.1 Блок-схема алгоритма симплекс-метода

Контрольные вопросы

1. Зачем осуществляется оптимизация сетевого графика?

2. Каким образом осуществляется постановка задачи оптимизации сетевой модели?

3. опишите блок-схему вычислительного алгоритма симплекс-метода?