Контрольные задания

1. Приведите определения системы.

2. Дайте определение понятиям «структура», «состояние», «связи», «элемент», «равновесие», «устойчивость», «развитие».

4. Поиск экстремума функции отклика

4.1. Определение стратегии поиска

Если линейная модель наблюдений описывает некоторые процессы, то ставится задача нахождения набора входных параметров, при которых выходной параметр будет экстремальным либо будет находиться в определенной области значений. Например, линейная модель описывает технологический процесс и необходимо определить набор условий (входных факторов), при которых производительность процесса будет максимальной, либо набор условий, при которых выход бракованных изделий сведен к минимуму. Формально задача сводится к отысканию вектора Х=(х₁,x₂,...,х_k)G при условии

Для нахождения экстремума функции отклика необходимо исследовать поверхность отклика посредством проведения изменений поверхности в различных точках факторного пространства.

Стратегия поиска состоит в том, чтобы число измерений (опытов) было сведено к минимальному значению, т.к. каждый опыт ‑ это эксперимент на функционирующем объекте.

Наибольшее распространение получили градиентные методы поиска экстремума, при которых движение по поверхности отклика происходит в направлении оценки градиента. Оценка градиента gradf(x₁,x₂,...,x_k) в точке (x₁,x₂,...,x_k) происходит по результатам измерений, проводимым в окрестностях этой точки в факторном пространстве.

Бокс и Уильсон [15, с. 410] предложили использовать последовательный «шаговый» метод изучения поверхности отклика. При этом ставится небольшая серия опытов для локального описания поверхности отклика полиномом первой степени. Далее движение осуществляется по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения. Если одного линейного приближения достаточно, то ставится новая небольшая серия опытов и находится новое направление движения по поверхности отклика.

Такой процесс движения продолжается, пока исследователь не попадет в почти стационарную область, где линейное приближение оказывается недостаточным. В этой области ставится большая серия опытов и поверхность отклика описывается полиномом второго и третьего порядка.

Метод Бокса и Уильсона состоит в повторении процедуры:

- построение факторного эксперимента в окрестности некоторой точки;

- вычисление оценки градиента в этой точке по результатам эксперимента;

- крутое восхождение в направлении оценки градиента;

- нахождение оценки экстремального значения функции отклика по этому направлению.

4.2. Метод крутого восхождения

Метод крутого восхождения предполагает, что функция отклика =f(x₁,x₂,...,x_k) непрерывна, имеет непрерывные частные производные первого порядка на множестве GR - k-мерному евклидову пространству и унимодальна, т.е. в области G имеет единственный экстремум.

Основу метода отыскания экстремума функции =f(x₁,x₂,...,x_k) составляет метод подъема (или спуска) по поверхности функции . При этом находится последовательность точек X⁰,X¹,...,Х^m в области G, таких, что f(X⁰)>f(X¹)>...>f(X^m)>... (или f(X⁰)<f(X¹)<...<f(X^m)<... ).

Градиентным называется метод, согласно которому точка Х^m+1 выбирается из условия [13] Х^m+1=Х^m+gradf(Х^m), где

-  ‑ вектор-градиент функции f(x₁,x₂,...,х_k) в точке ;

-  ‑ некоторая скалярная величина, >0.

Различие градиентных методов состоит в разных методиках выбора величин .

Рассмотрим суть крутого восхождения (спуска), иллюстрация которого приведена на рис. 4.1. На этом рисунке при К=2, задавая различные значения С из уравнения f(x₁,x₂)=C, получены совокупности линий уровня.

Рис. 4.1

Пусть X⁰ ‑ начальная точка при поиске максимума функции отклика =f(x₁,x₂,...,х_k). Вектор-градиент  в точке Х⁰ определится

,

где .

При условии, что все частные производные не равны нулю (точка X не является стационарной), направление вектор-градиента в этой точке будет направлением наибыстрейшего возрастания функции.

Затем делается шаг в направлении градиента с целью поиска точки X¹, в которой значение функции будет наибольшим.

Новая точка X¹ определяется из решения уравнения при предположении, что функция унимодальна в направлении градиента

.

В точке X¹ функция f(X¹) будет максимальна в направлении градиента из точки Х⁰, т. е.

.

Затем вычисляется grad f(X¹) и делается шаг в его направлении по поверхности f(X) с целью поиска точки X² и т. д.

В общем случае при наискорейшем подъеме координаты очередной точки X^m+1 находят при решении уравнений

причем, .

В векторной форме Х^m+1=Х^m+_mgradf(Х^m).

Так как f(X^m+1)>f(X^m), то последовательность {Х^m} сходится к точке максимума функции отклика.

Параметр _m (m=1,2,…) находится из решения одномерной задачи максимизации [15]

.