2.4. Полный факторный эксперимент 23

Предположим, что при комбинации уровней переменных x₁, x₂, и x₃ проводится по одному опыту в каждом варианте испытаний.

Функция отклика имеет вид

. (2.3)

Все различные комбинации уровней переменных x₁, x₂, x₃ приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Комбинации уровней ПФЭ 2

Матрица независимых переменных								Вариант испыта-ний	Наб-люде-ния
x0	x1	x2	x3	x1,x2	x1,x3	x2,x3	x1,x2,x3
1 1 1 1 1 1 1 1	-1 1 -1 1 -1 1 -1 1	-1 -1 1 1 -1 -1 1 1	-1 -1 -1 -1 1 1 1 1	1 -1 -1 1 1 -1 -1 1	1 -1 1 -1 -1 1 -1 1	1 1 -1 -1 -1 -1 1 1	-1 1 1 -1 1 -1 -1 1	(1) a b ab c ac bc abc	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

Произведение x_i, x_j называется парным взаимодействием (взаимодействием 1-го порядка). Произведение x₁,x₂,x₃ называется тройным взаимодействием (взаимодействием 2-го порядка).

Если определить

₄=₁₂, ₅=₁₃, ₆=₂₃, ₇=₁₂₃,

x_4u=x_1ux_2u, x_5u=x_1ux_3u, x_6u=x_2ux_3u, x_7u=x_1ux_2ux_3u,

то функция отклика (2.3) запишется в виде

.

Планирование является ортогональным (rankX=8), следовательно, из формулы (1.7) находятся оценки

.

Оценки {_j} некоррелированы, т.к. D{_j}=²/N, .

Матрица D₃ ПФЭ 2³ определится

, ,

где E₂=(1,1,1,1)^T.

2.4. Полный факторный эксперимент 2k

Обобщим построение полных факторных экспериментов для случая k независимых переменных, на базе рекуррентных процедур построения матрицы плана и функции отклика.

Из табл. 2.2 и 2.3 очевидно, что матрица ПФЭ 2³ получается путем повторения матрицы плана ПФЭ 2² при х₃=-1 и х₃=1. Тогда матрица плана ПФЭ 2⁴ будет получена повторением матрицы плана ПФЭ 2³ для x₄=-1 и x₄=1.

Таким образом, матрица плана ПФЭ 2^k+1 может быть представлена в рекуррентном виде

,

где E_k=(1,1,…,1)^T  двухмерный единичный вектор, D_k  матрица плана ПФЭ 2^k.

Полный факторный эксперимент типа 2^k обладает следующими свойствами:

- алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю (свойство симметрии)

,

где N  число опытов, i  номер фактора;

- сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов (условие нормировки), т.е.

,

где X_i  i-й вектор-столбец матрицы X;

- сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы Х равна нулю (свойство ортогональности матрицы планирования):

;

- свойства рототабельности, т.е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

Матрица независимых переменных Х_k ПФЭ 2^k также может быть построена из матрицы независимых переменных X_k-1 ПФЭ 2^k-1 в соответствии с рекуррентной формулой

.

Пусть функция отклика имеет вид

. (2.4)

Тогда в соответствии с видом этой функции уравнение регрессии запишется в виде

,

.

Произведение называется взаимодействием (m-1)-го порядка факторов . Коэффициент регрессии i называется линейным эффектом переменной x_i, а коэффициент  эффектом взаимодействия факторов .

Число всех возможных эффектов, включая линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента. Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого порядка, можно воспользоваться обычной формулой числа сочетаний

,

где k  число факторов; m  число элементов во взаимодействии.

Функцию отклика _k ПФЭ 2^k можно также записать в виде рекуррентного соотношения [13] _k=_k-1(1+x_k), где _k-1  функция отклика ПФЭ 2^k-1.