2.2. Определение полного факторного эксперимента

Эксперимент, в котором уровни каждого фактора комбинируются со всеми уровнями других факторов, называются полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Если S_i,  число уровней фактора x_i, то число точек спектра плана определится по формуле

N=S₁S₂S₃…S_k.

План (N) называется неполным или дробным факторным планом, если число точек его спектра

N< S₁S₂S₃…S_k.

План (N) называется симметричным, если все факторы имеют одинаковое число уровней S₁=S₂=S₃=…=S_k.

Рассмотрим построение ПФЭ 2^k.

Запись 2^k соответствует тому, что число уровней каждого фактора равно двум, а число точек спектра плана N=2^k.

Определим понятие кодированных переменных.

Будем рассматривать функцию отклика =(x₁, x₂,…, x_k), определенную в области GR.

Задана матрица плана (N) – D(X_iu), .

Пусть каждая переменная x_i во всех опытах может принимать два значения X_iu{x_i1,x_i2}, где x_i1 ‑ верхний уровень фактора, x_i2  нижний уровень фактора, x_i2 >x_i1.

Определим основной уровень

.

Интервал варьирования фактора x_i равен

.

Введем кодированные переменные

x_i= ,

которые на верхних уровнях принимают значения +1, а на нижних уровнях -1.

Функция отклика запишется через кодированные переменные =(x₁, x₂,…,x_k).

2.3. Полный факторный эксперимент 22

Рассмотрим случай при k=2. Этот эксперимент определим как ПФЭ 2². Функция отклика имеет вид

=f(x₁, x₂).

Матрица планирования эксперимента с двумя факторов приведена в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Комбинации уровней двух факторов

№ опыта	x1	x2	y	Буквенные обозначения
1	-1	-1	y1	(1)
2	+1	-1	y2	a
3	-1	+1	y3	b
4	+1	+1	y4	ab

Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку  вектор-строкой. То, что записано в столбце, можно изобразить геометрически. Для этого в области определения факторов найдем точку, соответствующую основному уровню, и проведем через нее новые оси координат (рис. 2.2).

Выберем масштаб по новым осям так, чтобы интервал варьирования для каждого фактора равнялся единице. Тогда условия проведения опытов будут соответствовать вершинам квадрата, центром которого является основной уровень.

Номера вершин квадрата соответствует номерам опытов. Площадь, ограниченная квадратом, называется областью эксперимента.

Рис. 2.2

Для сокращения записи матрицы планирования удобно ввести условные буквенные обозначения строк. При этом порядковый номер фактора ставится в соответствие букве: x₁  а, x₂  b, x₁x₂  ab и т.д.

Буква записывается в случае, если фактор находится на верхнем уровне.

Опыт со всеми факторами на нижних уровнях обозначим через (1) (см. табл. 2.1).

Пусть функция отклика имеет вид

=M{y}=₀x₀ + ₁x₂ + ₂x₂ + ₁₂x₁x₂. (2.1)

где x₀=1  фиктивная переменная (эквивалент среднего значения, не влияющего существенно на результаты оценки); y  выходная переменная.

При условии, что в каждом варианте испытаний проводятся по одному наблюдению, матрица D₂ ПФЭ 2² запишется в виде

. (2.2)

Если определить ₁₂=₃, x_1ux_2u=x_3u, то получим

.

Матрица планирования ПФЭ 2² приведена в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Комбинации уровней ПФЭ 2²

№ опыта	x0	x1	x2	x1x2	y
1 2 3 4	+1 +1 +1 +1	+1 -1 -1 +1	+1 +1 -1 -1	+1 -1 +1 -1	y1 y2 y3 y4

Матрица независимых переменных X=(x_ju), , соответствующая матрице плана (2.1) и функции отклика (2.1), имеет вид

Отметим, что, поскольку

,

то планирование является ортогональным.

В соответствии с формулой (1.7) МНК‑оценки параметров ₀, ₁, ₂, ₃ определяется

.

Оценки некоррелированы, и их дисперсия

.

Отметим следующее:

, , ,

где D₁ ‑ матрица плана ПФЭ 2¹.