1  Область больших положительных отклонений;

2  Область больших отрицательных отклонений;

3  Область больших по абсолютной величине отклонений (состоит из двух половин); 4  область малых по абсолютной величине отклонений

Рис. 6.4

6.3.3. Проверка гипотез о законе распределения. При обработке статистических данных моделирования вид закона распределения является гипотетическим и нуждается в статистической проверке, т.е. задача о критерии проверки гипотезы по данным выборки состоит в том, что случайная величина Х подчинена закону распределения Р(х).

Критерии проверки гипотез, называемые критериями соответствия, основаны на выборе определенной меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями. Если такая мера расхождения для рассматриваемого случая превосходит установленный предел, то гипотеза не подтверждается.

Рассмотрим наиболее употребительный критерий ² (критерий Пирсона). Пусть гипотеза предполагает вид функции распределения Р(х). Вся область изменения случайной величины Х разбита на конечное число k множеств ₁, ₁, …, _k. Если случайная величина Х непрерывна, то множества ₁, ₁, …, _k представляют собой интервалы, а если случайная величина Х дискретна, то множества ₁, ₁, …, _k представляют собой группы отдельных значений случайной величины Х.

Пусть p_i  вероятность того, что значения случайной величины Х при данном распределении Р(х) принадлежат интервалу _i.

Объем выборки N, а m_i  число значений случайной величины Х в выборке O(x₁, x₂, x₃, …, x_N), попавших в интервал _i. Очевидно, что

p₁+p₂+ …+p_k=1, (6.29)

m₁+m₂+ …+m_k=N. (6.30)

Если проверяемая гипотеза верна, то m_i представляет частоту появления события, имеющего в каждом из N произведенных испытаний вероятность p_i. В таком случае m_i можно рассматривать как случайную величину, подчиненную биномиальному закону распределения с центром в центре в точке Np_i и средним квадратическим .

Если N достаточно велико, то можно считать, что частота распределена асимптотически нормально с центром в центре в точке Np_i и средним квадратическим .

Если проверяемая гипотеза верна, то можно ожидать, что в совокупности будут асимптотически нормально распределены случайные величины

, (i=1,2,…,k), (6.31)

связанные между собой соотношением

, (6.32)

вытекающем из условий (6.29) и (6.30).

В качестве меры расхождения данных выборки (эмпирических частот) m₁, m₂, …, m_k с теоретическими частотами Np₁, Np₂, …, Np_k рассмотрим величину

. (6.33)

Для практических приложений можно применять подобное равенство:

. (6.34)

Согласно формуле (6.33) случайная величина ² представляет собой сумму квадратов асимптотически нормально распределенных случайных величин, связанных линейной зависимостью (6.32).

Из теории вероятностей известна теорема. Если проверяемая гипотеза верна, то критерий ², определяемый по формуле (6.33), имеет распределение, стремящееся при N к распределению ² с k-1 степенями свободы.

При проведении проверки задают уровень значимости  (%) для критерия. Пусть обозначает  %-ный предел для закона распределения ² с k-1 степенями свободы. Этот закон имеет табличное задание и его значения приводятся в приложениях книг с изложением теории вероятностей.

Если гипотеза верна, то при достаточно большом числе опытов N справедливо определение вероятности

. (6.35)

После определения случайной величины ² по данным выборки O(x₁, x₂, x₃, …, x_N), будет выполняться одно из двух условий:

- при критерий попадает в критическую область и, следовательно, расхождение выборочных данных с гипотетическим допущением о законе распределения случайной величины существенно, гипотеза отвергается;

- при несущественно расхождение выборочных данных с гипотетическим допущением о законе распределения, гипотеза принимается.

Во втором случае в % всех случаев, но неизвестно каких, гипотеза неверна. Принято считать достаточным нормальное приближение для практических расчетов, если Np_i10 i. Если есть группы со значениями Np_i меньшими 10, то рекомендуют соседние группы объединять так, чтобы новые группы удовлетворяли условию Np_i10 i.

Если число степеней свободы k>30, то соответствующего значения случайной величины ² нельзя найти в табличном задании закона распределения ². В этом случае применяют следующую приближенную формулу:

, (6.36)

основанную на том, что оказывается асимптотически нормальным законом , z_2  есть 2 %-ный предел абсолютного уклонения нормальной переменной, заданный в табличных приложениях книг по теории вероятностей.