
- •Рецензенты:
- •Содержание
- •2.5. Программные приложения
- •Часть 1.
- •1.2. Формализация линейной модели наблюдений
- •Контрольные задания
- •2. Полный факторный эксперимент
- •2.1. Определение эксперимента
- •2.2. Определение полного факторного эксперимента
- •2.3. Полный факторный эксперимент 22
- •2.4. Полный факторный эксперимент 23
- •2.4. Полный факторный эксперимент 2k
- •Контрольные задания
- •3. Дробный факторный эксперимент
- •3.1. Определение дробных реплик
- •3.2. Выбор дробных реплик
- •Контрольные задания
- •4. Поиск экстремума функции отклика
- •4.1. Определение стратегии поиска
- •4.2. Метод крутого восхождения
- •4.3. Метод Бокса и Уильсона
- •4.4. Пример расчета крутого восхождения
- •Контрольные задания
- •5. Информационное обеспечение для задач планирования эксперимента
- •Часть 2. Обработка экспериментальных данных
- •6. Обработка статистических данных
- •6.1. Сведения из теории вероятностей
- •6.2. Применение нормального закона для оценки вероятности и проверки гипотез
- •6.3. Значимость оценки
- •1 Область больших положительных отклонений;
- •2 Область больших отрицательных отклонений;
- •3 Область больших по абсолютной величине отклонений (состоит из двух половин); 4 область малых по абсолютной величине отклонений
- •6.4. Формулы и алгоритмы для оценки результатов моделирования
- •Библиографический список
- •Библиографический список
4.4. Пример расчета крутого восхождения
Предположим, что в результате проведения полного факторного эксперимента типа 22 получены следующие результаты наблюдений yu:
первая серия: y1=95,6; y2=90,6; y3=84,3; y4=83;
вторая серия: y1=94,4; y2=89,4; y3=85,7; y4=81.
В табл. 4.1 приведено среднее значение y*.
Таблица 4.1
№ опыта |
x0 |
x1 |
x2 |
y* |
1 2 3 4 |
+1 +1 +1 +1 |
-1 +1 -1 +1 |
-1 -1 +1 +1 |
95,0 90,0 85,0 82,0 |
Для вычисления коэффициентов регрессии определим следующие матрицы:
;
;
.
Определим матрицу системы нормальных уравнений и определим оценки коэффициентов:
,
,
.
Следовательно,
y=88–2x1–4,5x2 . (4.1)
Область определения факторов задана табл. 4.2.
Таблица 4.2
Уровень |
x1 |
x2 |
Основной уровень |
1,5 |
7,0 |
Интервал варьирования |
0,5 |
1,0 |
Верхний уровень |
2,0 |
8,0 |
Нижний уровень |
10 |
6,0 |
Для проверки гипотезы адекватности выбранной модели используем F-критерий
,
где:
-
дисперсия адекватности [14, c.201];
-
дисперсия воспроизводимости;
-
,
f=N-(k+1)=4-(2-1)=1
число степеней свободы.
Для
расчета
составим табл. 4.3 расчета остаточной
суммы квадратов.
Таблица 4.3
№ опыта |
x0 |
x1 |
x2 |
y |
yi |
yi-y* |
y-y* |
1 2 3 4 |
1 1 1 1 |
-1 1 -1 1 |
-1 -1 1 1 |
95 90 85 82 |
94,5 90,5 85,5 81,5 |
-0,5 0,5 0,5 -0,5 |
0,25 0,25 0,25 0,25 |
Для вычисления дисперсии воспроизводимости составим расчетную табл. 4.4.
Следовательно, [14. С. 162:
.
Таблица 4.4
№ опыта |
y’ |
y’’ |
y |
y’ |
y’’ |
|
1 2 3 4 |
95,6 90,6 84,3 83 |
94,4 89,4 85,7 81 |
95 90 85 82 |
0,6 0,6 0,7 1,0 |
0,36 0,36 0,49 1,0 |
2,21 |
Вычислим значение F-критерия [14. С.202]:
.
Табличное значение критерия Фишера для числа степеней свободы 1,4 и 5-го уровня значимости [14. C.04] равно 7,7. Поэтому гипотеза адекватности линейной модели может быть принята как справедливая [14, с.203].
Проверку значимости величины дисперсии вычислим по формуле [14, с.207]
.
Определим доверительный интервал: bj=tS{bj}=-t S{bj}, где t табличное значение критерия Стьюдента [14. С.208] при числе степеней свободы, с которыми определялась S2{y}, и выбранном уровне значимости (0,05). При f=N=4 имеем bj=2,7760,37=1,03.
Отсюда видно, что вычисленные коэффициенты значимости, т.е. их абсолютные значения, больше доверительного интервала [14. С. 209].
Рассмотрим этапы расчета крутого восхождения. Результаты расчетов будем фиксировать в табл. 4.5.
1. Определим составляющие градиента. Для шага варьирования 0,5 и 1,0 имеем
b1x1=-20,5=-1; b2x2=-4,51,0=-4,5.
Прибавим составляющие градиента к основному уровню факторов
x1=1,5-1,0=0,5.
Таблица 4.5
|
x1 |
x2 |
y* |
Основной уровень Интервал варьирования Верхний уровень Нижний уровень |
1,5 0,5 2,0 1,0 |
7,0 1,0 8,0 6,0 |
|
Кодированные значения переменных |
x1 |
x2 |
|
Опыты: 1 2 3 4 |
-1 -1 -1 -1 |
-1 -1 -1 -1 |
95,0 90,0 85,0 82,0 |
bj bj, умноженное на интервал варьирования Шаг при изменении x2 на 0,5 Округление |
-2,0 -1,0 -0,11 -0,1 |
-4,5 -4,5 -0,5 -0,5 |
|
Опыты в направлении крутого восхождения |
|
|
|
5 6 7 8 9 |
1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 |
6,5 6,0 5,5 5,0 4,5 |
|
Опыт 5
x2=7,0-4,5=2,5, x1=0,5-1,0=-0,5.
Опыт 6
x2=2,5-4,5=-2,0.
Условия опыта 6 не реальны, так как значения xj при этом выходят за границы допуска. Следовательно, шаг движения велик.
2. Воспользуемся условием: умножение составляющих градиента на любое положительное число дает точки, лежащие на градиенте.
В данной задаче удобно изменить х2 на 0,5, т.е. уменьшить составляющую градиента в 9 раз. Во столько же раз уменьшается и составляющая градиента по первому фактору (-0,11). Изменению составляющих градиента соответствует в табл.6.8 строка «Шаг при изменении х2 на 0,5». Округлим шаг до 0.1.
3. Осуществим последовательное прибавление составляющих градиента к основному уровню. Получим серию опытов 5-9 крутого восхождения. Эти опыты часто называют мысленными.
Иногда имеет смысл оценить ожидаемые значения параметров оптимизации в мысленных опытах.
Проведем расчет для опытов 7 и 8 крутого восхождения. Для оценки параметра оптимизации использовано уравнение регрессии (4.1). Однако в табл. 4.5 приведены натуральные значения факторов, а в уравнении применяются кодированные значения. Поэтому необходимо натуральные значения перевести в кодированные по формуле
, (4.2)
где xj кодированное значение фактора; xj натуральное значение фактора; xj0 натуральное значение основного уровня; Jj интервал варьирования; j номер фактора.
Согласно (4.2) для опытов 7 и 8 соответственно вычислим
x1=-0,6; x2=-1,5;
x1=-0,8; x2=-2,0.
Подставляя эти значения в уравнение регрессии (4.1), получаем y7=95,95; y8=98,6, где yj значение зависимой переменной, предсказанное с помощью уравнения регрессии.
Все выполненные расчеты по данному примеру сведены в табл. 4.5. Здесь x* факторы в натуральных единицах; y* среднее значение из двух параллельных опытов.