10. Предельные теоремы. (пт)

Предельные теоремы теории вероятностей, общее название ряда теорем вероятностей теории, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Исторически первые ПТ — теорема Бернулли (1713) и теорема Лапласа (1812) — относятся к распределению отклонений частоты появления некоторого события Е при n независимых испытаниях от его вероятности р (0 < р < 1). Частотой называется отношение m/n, где m — число наступлений события Е при n испытаниях (точные формулировки см. в ст. Бернулли теорема и Лапласа теорема). С. Пуассон (1837) распространил эти теоремы на случай, когда вероятность наступления Е в k-м испытании может зависеть от k, описав предельное поведение при n ® ¥ распределения отклонений частоты m/n от среднего арифметического вероятностей (1 £ k £ n): . Если обозначить через случайную величину, принимающую значение, равное единице при появлении события Е в k-м испытании, и значение, равное нулю при его непоявлении, то m можно представить в виде суммы что позволяет рассматривать перечисленные теоремы как частные случаи общих ПТ, относящихся к суммам независимых СВ (закона больших чисел и центральной предельной теоремы).

Закон больших чисел: Пусть (*) - какая-либо последовательность независимых СВ, - сумма первых n из них , и - соответственно математическое ожидание , и дисперсия , суммы . Говорят, что последовательность (*) подчиняется закону больших чисел, если при любом e > 0 вероятность неравенства стремится к нулю при .

Широкие условия приложимости закона больших чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (в 1867) (см. Больших чисел закон). Эти условия затем были обобщены А. А. Марковым (старшим). Вопрос о необходимых и достаточных условиях приложимости закона больших чисел был окончательно решен А. Н. Колмогоровым (1928). В случае, когда величины имеют одну и ту же функцию распределения, эти условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к одному: величины должны иметь конечные математические ожидания.

Центральная предельная теорема: Говорят, что к последовательности (*) применима центральная предельная теорема, если при любых и вероятность неравенства имеет пределом при n — величину

Довольно общие достаточные условия центральной предельной теоремы были указаны П.Л.Чебышёвым (1887), но в его доказательстве обнаружились пробелы, восполненные позже А.А.Марковым (1898). Решение вопроса, близкое к окончательному, было получено А.М.Ляпуновым (1901). По Ляпунову, если отношение где стремится к нулю при (условие Ляпунoва), то к данной последовательности СВ применима центральная предельная теорема (см. Ляпунова теорема). Окончательное решение вопроса об условиях применения центральной предельной теоремы получено в основных чертах С.Н.Бернштейном (1926) и дополнено В.Феллером (1935).