2. Частное определение: суть аппроксимации данных

Задача аппроксимации функции одной переменной с самого начала обязательно учитывает характер поведения исходной функции на всем интервале наблюдений. Формулировка задачи выглядит следующим образом. Функция у= f(х) задана таблицей

х	x1	х2	…	xn
f(x)	y1	у2	…	yn

Необходимо найти функцию заданного вида: y=F(x), которая в точках x1, x2, …, xn принимает значения, как можно более близкие к табличным y1, y2, …, yn.

Идея состоит в том, чтобы максимально приблизить данные из таблицы (на графике это звездочки) к прямой или любой другой функции, которая отобразит распределение этих точек наиболее близко

11.Билет

1. Метод Рунге-Кутта.Решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальными условиями y(x₀)=y₀. Выберем шаг h и для краткости введем обозначения x_i=x₀+ih и y_i=y(x_i), (i=0,1,2,…).

В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рунге-Кутта. Приведем без вывода один из вариантов соответствующих расчетных формул:

                                 (9)

Последовательные приближения y_i искомой функции y определяются по формуле:

y_i+1=y_i+ y_i

где

                            (10)

Отметим, что в этом случае погрешность на шаге пропорциональна пятой степени шага (h⁵). Отсюда, в частности, следует, что при достаточно малом h и малых погрешностях вычислений решение уравнения (1), полученное методом Рунге-Кутта по формулам (9), будет близким к точному.

Геометрическим смысл использования метода Рунге-Кутта с расчетными формулами (9) состоит в следующем. Из точки (x_i,y_i)cдвигаются в направлении, определяемом углом  ₁, для которого tg ₁=f(x_i,y_i). На этом направлении выбирается точка с координатами (x_i+h/2, y_i+k₁/2). Затем из точки (x_i,y_i) cдвигаются в направлении, определяемом углом  ₂, для которого tg ₂=f(x_i+h/2, y_i+k₁/2), и на этом направлении выбирается точка с координатами (x_i+h/2, y_i+k₂/2). Наконец, из точки (x_i,y_i) cдвигаются в направлении, определяемом углом  ₃, для которого tg ₃=f(x_i+h/2, y_i+k₂/2) и на этом направлении выбирается точка с координатами (x_i+h, y_i+k₃). Этим задается еще одно направление, определяемое углом  ₄, для которого tg ₄=f(x_i+h, y_i+k₃).Четыре полученных направления усредняются в соответствии с последней из формул (9). На этом окончательном направлении и выбирается очередная точка (x_i+1,y_i+1)= (x_i+h,y_i+ y).

2. Частное определение: определение невязки

Невязка – разница между эмпирическими значениями и значениями аппроксимирующих линий; или разница между наблюденными аппроксимирующих функций.

Поиск простейших эмпирических зависимостей необходим чтобы упорядочить значения системы, заменить одну систему координат на другую.

Z = ax^m

lnz = lna + m lnx соответственно Y = AX + B – линейная зависимость, а х = lnx и у = lnz – логарифмич замена. Переходим к билогарифмированию:

В естествознании часто используется метод наименьших квадратов - метод оценивания параметров приближающей функции, кот сводит к min сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от значений искомой функции.