2. Частное определение: суть интерполяции данных

Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.  Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией.

Рассмотрим систему несовпадающих точек   ( ) из некоторой области  . Пусть значения функции   известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции   из заданного класса функций, что

Точки   называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.

Пары   называют точками данных или базовыми точками.

Разность между «соседними» значениями   — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.

Функцию   — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Экзаменационный билет № 10

1. Метод Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Это один из самых старых и широко известных методов. Метод Эйлера является сравнительно грубым методом решения дифференциальных уравнений, однако идеи, положенные в его основу, являются, по существу, исходными для очень широкого класса численных методов.

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка y^/ = f (x,y),8,5 с начальным условием y(x₀)=y₀,(8.6)т.е. необходимо решить задачу Коши. В окрестности точки x₀ функцию y(x) разложим в ряд Тейлора (8.7)который можно применить для приближенного определения искомой функции y(x). В точке x₀+h при малых значениях h можно ограничиться двумя членами ряда (8.7), тогда, (8.8) где O(h²) - бесконечно малая величина порядка h². Заменим производную y^/(x₀), входящую в формулу (8.7), на правую часть уравнения (8.5) (8,9) Теперь приближенное решение в точке x₁=x₀+h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (8.9) найти значение искомой функции в следующей точке x₂=x₁+h. В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера или методом ломаных.Метод Эйлера можно представить в виде последовательного применения формул:

для точки x1 = x0 +h,   y1=y0+h.y0/=y0+h. f (x0,y0)
x2 = x1 + h,    y2=y1+h.y1/=y1+h. f (x1,y1)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i+1= xi + h,   yi=yi+h.yi/=yi+h. f (xi,yi)	(8.10) (8.11)

Таким образом, формула Эйлера в общем случае имеет вид: y_i+1=y_i+h^. f (x_i,y_i),  x_i+1 = x_i + h.(8.12)

Название “метод ломаных” связано с его геометрической интерпретацией (рис.8.1): искомая функция y(x) заменяется ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах x₀, x₁, ... Выведем формулы на основе геометрических аналогий.

Предположим, что нам известна точка (x₀,y₀) на искомой интегральной кривой (рис.8.2). Через точку (x₀,y₀) проведем касательную с тангенсом угла наклона

(8.13)

Уравнение касательной имеет вид: y=y₀+y₀^/(x-x₀).

Тогда в точке x₁=x₀+h, с учетом (8.13) получим решение: y=y₀+y₀^/(x₀+h-x₀); y₁=y₀+h ^. f (x₀,y₀)

Ошибка решения в точке x=x₁ показана в виде отрезка  .Формула (8.12) является методом Рунге - Кутта первого порядка, т.к. она согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h¹.Метод Эйлера имеет довольно большую погрешность вычисления:  0(h). Кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая ошибка (например, заложенная в исходных данных) увеличивается с ростом x. На рис.8.3 приведена блок - схема метода Эйлера, в Приложении - программа расчета.