Логические элементы и таблица истинности
В основе всех цифровых систем лежат четыре основных логических элемента (операций):
– логическое сложение, дизъюнкция, ИЛИ;
– логическое умножение, конъюнкция, И;
– ИЛИ – исключающее;
– отрицание, НЕ;
Совокупность этих элементов обладает свойством функциональной полноты, т.е. на их основе может быть решена любая логическая непротиворечивая функция.
В электротехнических системах (рис.10) логические элементы принято обозначать в виде прямоугольников со сторонами, кратными 5мм, причем слева (как правило) показаны входы, справа – выходы.
Рис.10. Изображение логического элемента на электрических схемах
Входные величины по правилам алгебры логики обозначаются, как правило, заглавными латинскими буквами (A, B, C,…), так же обозначаются и выходные переменные. Связь между входами и выходами определяется конкретной логической функцией (рис.11.)
Рис.11. Изображение основных логических элементов на электрических схемах
Одним из основных инструментов для анализа цифровых комбинационных схем, построенных на этих, элементах является таблица истинности, которая состоит из N – столбцов, где N – 1 равно количеству входных переменных. А последний столбец принимает значение выходной переменной. Если количество входных переменных равно K, то количество строк в этой таблице равно 2K. Важной особенностью всех входных и выходных переменных в алгебре логике является то, что все они могут принимать только два значения – нуля или единицы.
Логическое сложение, дизъюнкция, элемент «или»
Для обозначения операции логического сложения (английское сокращенное обозначение «OR») в алгебре логики используется символ «+», например, A + B=Q.
На рис.12. показана электрическая схема, иллюстрирующая работу элемента логического сложения. Примем, что если ключ A (B) замкнут, то А (В) равно единице, и наоборот, если разомкнут, то A (B) равно 0. Если лампочка Q горит, то Q=1, если не горит, то Q=0.
Рис.12. Электрическая схема электромеханического эквивалента логического элемента 2-ИЛИ
Из схемы очевидно следует, что если хотя бы один ключ А или В или оба ключа замкнуты, то лампочка Q горит. И только когда оба ключа разомкнуты, лампочка не горит. Эти рассуждения в формальном виде можно представить в виде таблицы истинности для логического элемента 2-ИЛИ. Цифра «2» в обозначении указывает на то, что в операции логического сложения участвует два слагаемых (в примере А и В). Табл.2 будет иметь три столбца (А, В и Q) и количество строк (за исключением заголовка таблицы), равное 22. Рассмотренную операцию можно записать в алгебраической форме следующим образом: А+В=Q.
Таблица 2
В |
А |
Q |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Если в схеме рис.12 добавить еще один ключ С (рис.13), то работа схемы в принципе не изменится. Разница будет заключатся в том, что лампочка Q не будет гореть тогда, когда все три ключа разомкнуты. Таким образом, мы получим логический элемент 3-ИЛИ. Добавлять ключи можно сколь угодно много, при этом, очевидно, общее правило работы схемы не изменится.
Рис.13. Электрическая схема электромеханического эквивалента
логического элемента 3-ИЛИ
Таблица истинности для логического элемента 3-ИЛИ будет состоять из четырех столбцов и иметь 23=8 строк (табл.3).
Таблица 3
С |
В |
А |
Q |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Продолжение табл.3
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Промышленность выпускает четыре типа элементов логического сложения: 2-ИЛИ, 3-ИЛИ, 4-ИЛИ и 8-ИЛИ. На схемах электрических принципиальных эти элементы изображают, как показано на рис.14.
Рис.14. Условное обозначение элементов логического сложения на схемах электрических принципиальных
Все физические процессы протекают и исследуются, как правило, во времени, поэтому чтобы знать, когда и как произошло то или иное событие используются диаграммы состояний. С помощью таких диаграмм удобно исследовать и анализировать работу цифровых схем.
Для построения таких диаграмм задаются (или измеряют с помощью многоканального логического анализатора) значениями входных переменных во времени, и с помощью таблицы истинности вычисляют и строят значение выходной переменной. Например (рис.15), зададимся значениями во времени входных переменных А, В и С для логического элемента 3-ИЛИ и построим значение выходной переменной Q в каждый момент времени.
В момент времени t1 А=1, В=1 и С=0 в четвертой строке табл.3 этому значению входных переменных соответствует значение выходной переменной Q=1. В момент времени t2 A=0, B=0, C=0 это состояние входных переменных соответствует первой строке табл. 3, поэтому выходная переменная Q=0.
Рис.15. Диаграмма состояний для элемента 3-ИЛИ
В заключение отметим, что современные логические элементы (не только логического сложения) строятся не на механических ключах, а на так называемых транзисторных ключах. Такие ключи имеют множество преимуществ (см. стр.8). Однако нам нет необходимости «заглядывать» внутрь логических элементов, достаточно знать их таблицы истинности и различать их условные изображения в схемах.