1.2 Синтез по «доминирующей динамике»

Пусть линейный динамический объект управления P задается дифференциальным уравнением вида

где и . (2)

В данной записи явно выделены операторы «основной» (или «доминирующей») динамики и операторы «структурных возмущений» , обладающие следующими свойствами:

, (3)

и (последнее условие обеспечивает равенство коэффициентов передачи полной P и сокращенной (редуцированной) модели P⁰). Цель управления назначается в виде односвязной области S на С¹. Модальный регулятор R рассчитывается по «доминирующей динамике» ; формально данная схема может быть записана в виде

, (4)

при этом корни характеристического полинома эталона выбираются из условия принадлежности заданной области S. Характеристический полином замкнутой системы с учетом операторов «структурных возмущений» принимает вид

или, проводя несложные преобразования, окончательно получаем

. (5)

Из условий синтеза (4) и свойств (3) полиномов и следует, что корни первого слагаемого в (5) всегда будут лежать внутри заданной области S. Второе слагаемое приводит к смещению корней относительно корней полинома , причем это смещение тем больше, чем дальше отстоят друг от друга корни и (в частности, при второе слагаемое в (5) тождественно равно нулю).

1.3 Синтез по минимуму среднеквадратичного отклонения

В схеме синтеза по «доминирующей динамике» (3) - (4) при расчете регулятора не учитываются операторы «структурных возмущений» . Однако, как следует из (5), модальный регулятор смещает все корни характеристического полинома замкнутой системы и, как следствие, в некоторых случаях корни полинома замкнутой системы могут выходить за пределы заданной области S (то есть нарушается целевое условие (1)). В изложенной ниже схеме учитывается это обстоятельство: предлагается искать на заданной структуре l (l < n - 1) регулятора

где ,

настройки, обеспечивающие минимум функционала

, (6)

где - вектор коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы, а – вектор коэффициентов назначенного эталона; Q – положительно определенная матрица размерности ( ), определяющая эллиптическую (в случае - сферическую) метрику в пространстве коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы. Вектор может быть найден из выражения (5); приравнивая коэффициенты в левой и правой частях указанного соотношения при одинаковых степенях p, получим

, (7)

где искомый вектор коэффициентов регулятора (определенный в предыдущей лабораторной работе выражением (9)), C – матрица (определенная там же соотношением (10)), а d – вектор размерности ( ):

.

Подставляя выражение (7) в функционал (6) и минимизируя его по вектору настроек регулятора , приходим к следующей экстремальной задаче:

, (8)

где

. (9)

Таким образом, задача расчета коэффициентов регулятора пониженного порядка свелась к классической задаче минимизации квадратичного функционала (8), ее решение хорошо известно (поэтому приводим без доказательств):

, (10)

(при условии, что матрица существует), причем значение функционала :

. (11)

Методы, изложенные в разделах 1.2 – 1.3 проиллюстрируем следующим примером.