V. Формы представления информации в компьютере.

V.1. Кодирование в компьютерах числовой информации.

1. Системы счисления и переводы чисел из одной системы счисления в другую.

Системой счисления называется способ представления (кодирования)

чисел посредством некоторого множества символов, называемых

цифрами.

В любой системе счисления число может быть записано в виде некоторой строчки символов:

а_nа_n-1а_n-2…а₁a₀,a_-1a_-2a_-3…a_-m

где a_i – символы из некоторого множества {a},

, – запятая, отделяющая целую часть числа от дробной части.

Системы счисления делятся на два больших класса:

а) позиционные системы счисления;

б) непозиционные системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если значение символа

(цифры) определяется не только видом, но и местом расположения

(позицией) в представлении числа.

Непозиционными называются системы счисления, где символы, из

которых состоит представление числа, не имеют самостоятельного

значения, а имеют смысл только взятые в совокупности (например,

коды Грея, Джонсона и др.).

И хотя в ВТ иногда используются непозиционные коды, и даже были разработаны ЭВМ, использующие эти коды, подавляющее число используемых в настоящее время компьютеров используют для представления чисел позиционные системы счисления.

Любое число в позиционной системе счисления может быть представлено в виде:

a_n·qⁿ + a_n-1·q^n-1 + … + a₁·q¹ + a₀·q⁰ + a_-1·q^-1 + a_-2·q^-2 +…+ a_-m·q^-m

где: a_i – цифра числа;

i – позиция цифры (отрицательные позиции определяют позиции

дробной части числа).

q – основание позиционной системы счисления.

В вычислительной технике используются следующие системы счисления.

1. Двоичная:

q = 2; {a} → 0,1;

Представление числа в двоичной системе счисления обычно обозначается символом B (Binary), поставленным в конце кода числа, например, 101011B.

2. Восьмеричная:

q = 8; {a} → 0,1,2,3,4,5,6,7;

Представление числа в восьмеричной системе счисления обозначается символом O (Octonory) или Q, например, 1735Q.

3. Десятичная:

q = 10; {a} → 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;

Представление числа в десятичной системе счисления либо подразумевается по умолчанию, либо обозначается символом D (Decimal), например, 12349D.

4. Шестнадцатеричная:

q = 16; {a} → 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F;

Представление числа в шестнадцатеричной системе счисления обозначается символом H (Hexadecimal), например, 1A9FCH.

5. Двоично-десятичная:

q = 10; {a} → 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;

но a_i – кодируется четырьмя двоичными разрядами.

Поскольку четырьмя двоичными разрядами можно закодировать до 16 символов, а кодируется только 10, то разновидностей двоично-десятичных кодов может быть много, в зависимости от весовых значений позиций этого четырехразрядного двоичного числа. В вычислительной технике наиболее широко используется двоично-десятичный код с весовыми значениями разрядов, соответствующими числам 8421. Поэтому для этого двоично-десятичного кода:

где x_i = {0,1}; и ;

Представление числа в двоично-десятичной системе счисления обозначается символами BCD (Binary Code Decimal).

Заметим, что при ручной записи на бумаге, систему счисления, в которой представлено число, бывает удобнее указывать в виде индекса после младшего разряда числа, например:

1011101₂ ; 101245₈ ; 23456₁₀ ; 7F5AC₁₆ ; 100101111000_2/10,

где индекс 2/10 указывает на двоично-десятичную систему счисления, в которой представлено число.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

a) Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и наоборот.

Основания восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления кратны степени двойки (8 = 2³ , а 16 = 2⁴). Поэтому правила перевода двоичных чисел в восьмеричные и шестнадцатеричные, а также правила перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему, аналогичны и весьма просты.

Чтобы перейти от числа, представленного в двоичной системе счисления, к этому же числу, но представленному в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления, необходимо осуществить следующие действия. Сначала исходное двоичное число следует разбить на группы, соответственно, по тройкам или четверкам двоичных разрядов. А затем двоичные числа в каждой группе представить в виде восьмеричной или шестнадцатеричной цифры. Разбивка двоичного числа на группы двоичных разрядов должна происходить от дробной запятой вправо и влево.

Пусть будет дано двоичное число:

10111001100011010101,11001101101B

После разбивки на группы двоичных разрядов по три и четыре двоичных разряда в каждой, и кодирования каждой группы будем иметь:

2 7 1 4 3 2 5 6 3 3 2

010 111 001 100 011 010 101,110 011 011 010

B 9 8 D 5 C D A

1011 1001 1000 1101 0101,1100 1101 1010

Следовательно, данное двоичное число в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счислений будет, соответственно, иметь вид:

2714325,6332Q и B98D5,CDAH.

Чтобы перевести число, представленное в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления в двоичную систему счисления, надо представить (развернуть) каждый символ исходного восьмеричного или шестнадцатеричного кода в виде двоичных чисел. Например:

111 101 011 010 , 100 101 001 B 1110 1101 1000 0011 0001 , 0010 0101 1001 B

б) Перевод чисел из двоичной системы счисления в двоично-десятичную

и наоборот.

Не вызывает затруднений и перевод чисел из десятичной системы счисления в двоично-десятичную систему и наоборот, поскольку в двоично-десятичной системе каждая десятичная цифра представляется отдельно четырьмя двоичными разрядами (тетрадой) двоичных чисел. Например, при использовании двоично-десятичной системы с весами разрядов 8421 имеем:

в) Перевод чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и

шестнадцатеричной системах счисления в десятичные числа.

Перевод чисел из указанных систем счисления в десятичную систему производится представлением данных чисел по общей формуле для позиционных систем счисления, приведенной ранее. При этом все необходимые вычисления производятся в десятичной системе счисления. Приведем примеры.

1. Из двоичной системы счисления:

2. Из восьмеричной системы счисления:

3. Из шестнадцатеричной системы счисления:

г) Перевод представления чисел из десятичной системы счисления в

двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

При изложении правил перевода представления чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную рассмотрим только те алгоритмы, в которых все требуемые арифметические вычисления осуществляются в десятичной системе счисления. В этом случае целая часть десятичного числа и дробная его часть преобразовываются по различным алгоритмам.

При преобразовании целого числа или целой части вещественного числа в другую позиционную систему счисления, алгоритм преобразования заключается в последовательном делении этого числа на основание искомой системы счисления. Остатки от этого последовательного деления образуют последовательность цифр в искомой системе счисления. При этом, последний остаток будет являться первой цифрой искомого числа в требуемой системе счисления, а первый – последней.

Преобразование дробной части десятичного числа в дробную часть двоичного, восьмеричного или шестнадцатеричного числа осуществляется путем последовательного умножения этой дробной части на основание искомой системы счисления и выявлении получающейся целой части, при каждом умножении. Эти появляющиеся целые части будут являться цифрами целой части искомого числа в требуемой системе счисления. При этом цифры разрядов будут получаться в прямом порядке (цифрой старшего разряда дробной части числа является первая, полученная после умножения целая часть). Окончание преобразования дробной части числа определяется появлением всех нулей в разрядах, отводимых под дробную часть. Если же такое последовательное умножение до получения нулей в дробной части произведения продолжается очень долго, то, в таких случаях преобразование дробной части числа осуществляется до требующейся погрешности (числа знаков в дробной части).

Для уяснения алгоритмов преобразования десятичных чисел в двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные ниже приведены примеры таких преобразований.

а) Преобразование десятичного числа 419,8125 в двоичную форму

представления.

Преобразование целой части			Преобразование дробной части
Целая часть числа или частного	Делитель	Остаток	Дробная часть числа или произведения	Множитель	Целая часть после умножения
419	2	1	0,8125	2	1
209	2	1	0,6250	2	1
104	2	0	0,2500	2	0
52	2	0	0,5000	2	1
26	2	0	0,0000
13	2	1
6	2	0
3	2	1
1	2	1
0

Результат: 110100011,1101В.

б) Преобразование десятичного числа 551,9375 в восьмеричную форму

представления.

Преобразование целой части			Преобразование дробной части
Целая часть числа или частного	Делитель	Остаток	Дробная часть числа или произведения	Множитель	Целая часть после умножения
551	8	7	0,9375	8	7
68	8	4	0,5000	8	4
8	8	0	0,0000
1	8	1
0

Результат: 1047,74Q.

в) Преобразование десятичного числа 895,253 в шестнадцатеричную форму представления.

Преобразование целой части			Преобразование дробной части
Целая часть числа или частного	Делитель	Остаток	Дробная часть числа или произведения	Множитель	Целая часть после умножения
895	16	15	0,253	16	4
55	16	7	0,048	16	0
3	16	3	0,768	16	12
0			0,288	16	4
			0,608	16	9
			0,728	16	11
			0,648	16	10
			…	…	…
			…	…	…

Результат: 37F,40C49BAH