
§2. Алгебраические операции. Основные типы алгебраических структур
1°. Алгебраические операции.
Алгебра − наука об алгебраических операциях.
Пусть X − произвольное множество.
Определение 1.
n-арной
алгебраической операцией
на X
называется отображение
.
Т.е.
n-компонентному
элементу
однозначно ставится в соответствие
элемент
.
Задача. Пусть
.
Сколько
n-арных
алгебраических операций на
?
Ответ. Таких
операций
Алгебраические операции при n=1 называются унарными, при n=2 – бинарными, n=3 – тернарными. Далее, как правило, будут рассматриваться бинарные операции.
Если
,
то пишут
или
.
Операции на X
обозначают символами
.
Последний символ используется для
операции сложения, остальные − для
операции умножения.
Определение 2. Множество X с конкретной алгебраической операцией называется алгебраической структурой.
На одном и том же множестве X могут быть заданы различные алгебраические структуры.
Примеры (алгебраических операций и алгебраических структур).
1.
так, что
имеем
2.
3.
4. Деление не
является алгебраической операцией на
R,
так как не определено деление на нуль.
Однако оно является алгебраической
операцией на
.
5-8. То же самое для С.
9.
10. Скалярное
произведение не является алгебраической
операцией на множестве векторов, т.к.
.
11.
- множество всех отображений
относительно операции композиции
является алгебраической структурой.
12. Как правило,
алгебраическая операция на конечном
множестве может быть задана с помощью
таблицы Кэли, которая описывает результат
операции на любой паре элементов
множества. Рассмотрим множество,
состоящее из 3-х элементов: {Доска, Окно,
Тряпка} (кратко {Д, О, Т}). Введем следующую
операцию, обозначаемую
(символ операции). Соответствующую
таблицу Кэли можно выбрать в виде
1 |
Д |
О |
Т |
Д |
Д |
О |
Д |
О |
О |
Д |
Т |
Т |
Т |
Т |
Д |
13. Примерами
тернарных операций на
являются:
-
.
-
.
-
.
Обычно полезно изучать операции со специальными свойствами.
Определение 3.
Бинарная операция
на
X
называется коммутативной,
если
;
ассоциативной,
если
выполняется
.
Задача. Пусть
.
Сколько
коммутативных бинарных операций на X?
Ответ.
Таких операций
.
Примеры.
-
. Операция сложения коммутативна и ассоциативна.
-
. Операция вычитания не коммутативна и не ассоциативна. Например,
,
.
-
, где
. Такая операция
коммутативна, но не ассоциативна. Действительно:
.
-
Умножение матриц: ассоциативная, но не коммутативная операция.
Теорема 1
(обобщённая
ассоциативность). Если операция
ассоциативна,
то в выражении
скобки
можно расставлять в любых местах.
Доказательство.
Проводится методом математической
индукции. Для
утверждение повторяет определение
ассоциативности. Пусть
.
Рассмотрим выражения
и
.
Пусть
−
обычная ассоциативность. ■
Определение 4.
Элемент
называется
нейтральным относительно алгебраической
операции
,
если
|
(1) |
Теорема 2. Нейтральный элемент единственен.
Доказательство.
(от противного). Пусть
и
−
два нейтральных элемента
(по условию
нейтральности
)
и
(по условию нейтральности
)
.■
Определение 5.
Множество
с
заданной на нем бинарной ассоциативной
операцией называется полугруппой.
Полугруппа с нейтральным элементом
называется моноидом
или полугруппой
с единицей.
Определение 6.
Элемент
моноида
называется
симметричным к элементу
,
если
|
(2) |
Теорема 3.
Если в моноиде для
есть
симметричный элемент, то такой элемент
единственен.
Доказательство.
Пусть для данного
два симметричных элемента
и
Тогда в силу (1) и (2) имеем:
.■
Обычно умножение
называют мультипликативной
операцией, сложение – аддитивной.
В случае мультипликативной операции
результат операции
называют
произведением,
нейтральный элемент – единицей
(обозначают 1), симметричный элемент к
– обратным
(пишут
).
В случае аддитивной операции результат
операции
называют суммой
(x+y),
нейтральный – нулём
(обозначают 0), симметричный –
противоположным
(обозначают
).
Теорема 4.
Если в моноиде
для
элементов
и
есть симметричные элементы
и
соответственно, то для элемента
также
существует симметричный элемент, равный
Доказательство.
Для
доказательства теоремы необходимо
проверить условия (2):
Проверим первое из этих равенств. Имеем:
Аналогично проверяется второе условие из (2).■
2°.Группа, свойства группы.
Определение 7.
Непустое
множество G
с заданной алгебраической операцией
называется группой,
если
1)
– ассоциативная операция.
2) В G
нейтральный элемент
.
3)
симметричный элемент из
Если
– коммутативная операция, то группа
называется коммутативной
или абелевой.
Операция, относительно
которой G
− группа, называется групповой операцией.
Если групповая операция
− умножение, то группа называется
мультипликативной, если
– сложение, то G
– аддитивная группа.
Примеры.
-
(N,+) – коммутативная полугруппа без нейтрального элемента.
-
(N,
) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом.
-
– аддитивная абелева группа.
-
– аддитивная абелева группа.
-
– аддитивная абелева группа.
-
– абелева полугруппа с нейтральным элементом.
-
– мультипликативная абелева группа.
-
– абелева группа:
.
-
Множество векторов на плоскости или в пространстве относительно операции сложения.