1) Для всех (*)

2) Для всех (**)

где – матрица стоимостей перевозок.

Доказательство теоремы опускаем, оно основывается на рассмотрении двойственной задачи к исходной транспортной. Числа, называемые потенциалами, в точности являются переменными двойственной задачи, а сформулированные условия (**) – суть второй теоремы двойственности.

Покажем, как находить числа, называемые потенциалами. Отведем им место в таблице – правый столбец и нижняя строка. Условие (*) представляет собой систему из линейных уравнений с неизвестными потенциалами. Поэтому одно из неизвестных полагаем равным 0 для определенности, затем последовательно находим остальные потенциалы.

Проведем эти вычисления, записывая найденные потенциалы в дополнительно зарезервированный столбец и строку (табл.3.5).

Таблица 3.5

	В1	В2	В3	В4	В5	uj
А1	21	19	11 24	12	12	40
А2	26	29	14 2	1 10	26	43
А3	39	1 13	22	8 0	25 5	50
А4	53 11	23	40	26	28 5	53
vi	0	–49	–29	–42	–25

Проводя вычисления, смотрим только на занятые клетки и на числа, стоящие в правом верхнем углу, – стоимости перевозок.

1. Полагаем один из потенциалов равным 0. Пусть найдем из условия (*) остальные, последовательно обходя занятые клетки:

для занятой клетки (4,1): т.е. ,

для занятой клетки (4,5): т.е. ,

для клетки (3,5): , т.к. ,

затем можем найти из (3,2): , т.к. ,

после из (3,4): , т.к. ,

из (4,2): , т.к.

и, наконец, из (2,3): , т.к. ,

из (3,1): т.к.

Все потенциалы найдены. Вычисления обычно проводятся устно, с особой внимательностью, не путая стоимости перевозок стоящие в правых верхних углах клеток, с самими перевозками стоящими в клетках. Их значения на этом шаге нам не нужны, важно лишь, что они определяют занятость клетки.

2. После нахождения системы потенциалов можно собственно и заняться проверкой плана на оптимальность, ради чего мы и вычисляли потенциалы. Для проверки плана на оптимальность необходимо проверить условие (**). Нужно для свободных клеток посчитать суммы и сравнить их с числами – стоимостями перевозок. Если то по теореме, план является оптимальным, задача решена. Иначе, если хотя бы для одной клетки план нужно улучшать. Переходить к 3-му шагу алгоритма. Сделаем проверку условия (**) для нашей таблицы, записывая в правом верхнем углу выполнение неравенств (табл.3.6).

Таблица 3.6

	В1	В2	В3	В4	В5	vj
А1	40>21	–9<19	11=11 24	–2<12	15>12	40
А2	43>26	–6<29	14=14 2	1=1 10	18<26	43
А3	50<39	1=1 13	21<22	8=8 0	25=25 5	50
А4	53=53 11	4<23	14<40	11<26	28=28 5	53
ui	0	–49	–29	–42	–25

В нашей задаче первоначальный опорный план неоптимален, условие (**) нарушено в клетках (1, 1), (1, 5), (2, 1), (3, 1).

Шаг 3. Улучшение плана.

Для проведения операции улучшения плана нам понадобится понятие цикла – контура перераспределения ресурсов.

Циклом будем называть набор клеток таблицы, в котором две и ровно две соседние клетки расположены в одной строке или в одном столбце, вершины поочередно обозначаются «+» и «-». Цикл начинается со свободной клетки и проходит только по занятым.

Графически нетрудно представить цикл в виде ломаной, каждое звено которой лежит в строке или в столбце, причем в каждой строке или столбце не более чем по одному звену. Звенья ломаной располагаются под прямым углом. Цикл начинается со свободной клетки, в которой нарушено условие оптимальности, и проходит только по занятым.

Примеры циклов:

с11	с 12	с13 	с14 			с11 •	с12 •	с13	с14
с21	с22 	с23	с24 			с21	с22 •	с23	с24 •
с31	с32 	с33 	с34			с31 •	с32	с33	с34 •

С понятием цикла связаны важные свойства планов:

1) допустимый план является опорным, когда из занятых этим планом клеток нельзя образовать ни одного цикла;

2) если имеем опорный план, то для каждой свободной клетки можно образовать единственный цикл, содержащий данную клетку и некоторые из занятых.

Улучшение плана производится по следующей схеме. В подчеркнутых клетках табл. 3.6. находим клетку с наибольшей разностью т.е. где условие (**) нарушается максимально. Затем для этой клетки согласно свойству 2 строим единственный цикл. Набор клеток в цикле помечаем поочередно знаками «+» и «–», начиная с «+» в свободной клетке. Имеем таблицу 3.7

Таблица 3.7

	В1	В2	В3	В4	В5	запасы
А1	40>21 +	–9<19	11=11 – 24	2<12	15>12	24
А2	43>26	–6<29	14=14 + 2	1=1 –10	18<26	12
А3	50>39	1=1 13	21<22	8=8 + 0	25=25 – 5	18
А4	53=53 –11	4<23	14<40	11<26	28=28 + 5	16
потребности	11	13	26	10	10

Начиная с клетки (1, 1), где условие (**) нарушено максимально, строим цикл. Клетку (1, 1) помечаем знаком «+», далее ходим по занятым клеткам, поворачивая под прямым углом, знаки чередуем, пока не попадем в тот столбец или строку, откуда начали. Если вы нашли цикл, то он верный, т.к. цикл единственен. У нас все занятые клетки вошли в цикл, но это необязательно.

Рассмотрим элементы плана , расположенные в клетках цикла со знаком «–» : . Выберем из них наименьший обозначим Строим новый план по правилу

Новый план записываем в табл. 3.8. Клетка, в которой разница равна 0, у нас (3, 5), теперь будет свободной. Проверьте, что число занятых клеток по-прежнему равно 8.

Таблица 3.8

	В1	В2	В3	В4	В5	запасы
А1	21 5	19	11 15	12	12	24
А2	26	29	14 7	1 5	26	12
А3	39	1 13	22	8 5	25	18
А4	53 6	23	40	26	28 10	16
потребности	11	13	26	10	10

Очевидно, что полученный план будет удовлетворять прежним ограничениям, т.к. сдвиг перевозки происходит по циклу, а значит, не нарушает суммарную перевозку по столбцу и по строке (в одном месте прибавили, а в другом – столько же отняли). Общая же стоимость перевозок уменьшается на число, равное где – объем перевозок, перемещаемый по циклу. У нас эта величина равна 5·(40–21)=5·19=95.

Действительно, для плана Х общая суммарная стоимость перевозки: .

Для нового плана

=5·21+19·11+7·14+5·1+13·1+5·8+6·53+10·28=1068.

Итак, мы построили новый «лучший» план, 3-й шаг закончен. И теперь переходим к следующей итерации: находим новые потенциалы, проверяем план на оптимальность, улучшаем, если план неоптимален.

Для нашей задачи проведем дальнейшее решение. Новая система потенциалов записана в табл. 3.9.

Условие (**) не выполняется в клетках (4, 3) и (4, 4). С клетки (4, 4) начинаем строить цикл. Выбираем наименьшее из чисел .

Таблица 3.9

	В1	В2	В3	В4	В5	vj
А1	21 + 5	–19<19	11 – 19	–2<12	–4<12	21
А2	24<26	–6<29	14 + 7	1 – 5	–1<26	24
А3	31<39	1 13	21<22	8 5	6<25	31
А4	53 – 6	23=23	43>40	30>26 +	28 10	53
ui	0	–30	–10	–23	–25

Строим новый план, добавляя Δ к клеткам с «+», и вычитая Δ из клеток с «–». Новый план выглядит как показано в табл.3.10.

Таблица 3.10

	В1	В2	В3	В4	В5	vj
A1	21 + 10	–13>19	11 – 14	–6<12	–4<12	21
A2	24<26	–10<29	14 12	–3<1	–1<26	26
A3	35<39	1 13	–25<22	8 5	10<25	35
A4	53 – 1	19<23	43>40 +	26 5	28 10	53
ui	0	–34	–10	–27	–25

Найдем новую систему потенциалов, запишем в таблицу 3.10.

Оказывается, план не оптимален, в клетки (4, 3) нарушается неравенство (**), еще раз строим цикл, улучшаем план, Δ=1.

Находим новую систему потенциалов (табл. 3.11), проверяем на оптимальность, убеждаемся, что полученный план оптимален.

Таблица 3.11

	В1	В2	В3	В4	В5	vj
A1	21 11	–10<19	11 13	–3<12	–1<12	21
A2	24<26	–7<29	14 12	0<1	2<26	24
A3	32<39	1 13	22=22	8 5	10<25	32
A4	50<53	19<23	40 1	26 5	28 10	50
ui	0	­31	–10	–24	–22	–62

Итак, предложенный таблицей 3.11, план перевозок является оптимальным, при этом суммарная стоимость перевозок .

Действительно, после второй итерации стоимость перевозок уменьшилась на величину (30–26)·5=20, после третьей (43–40)·1=3, т.е. 1068–23=1045, что мы и имеем. Задача решена.

Замечание. Если транспортная задача является задачей открытого типа, в которой условие баланса не выполняется, а именно сумма запасов больше суммы потребностей, то решить такую задачу можно по предложенной схеме методом потенциалов, введя дополнительного потребителя, с потребностью равной разности балансов, и нулевыми стоимостями перевозок от каждого поставщика к этому потребителю.