§ 2.7. Поиск первоначального опорного плана

Предположим, что каноническая задача ЛП имеет опорный план недопустимый – правые части уравнений системы ограничений отрицательны.

Этот случай возникает, например, при решении задачи о смесях и раскрое. Канонический вид задачи, рассмотренной в § 2.3 (7), выглядит так:

.

Запишем задачу в симплекс-таблицу (табл.2.9):

Таблица 2.9

базисные				правые части

Базисное решение, соответствующее базису и равное (0; 0; 0; -33; -23; -12), не является допустимым ввиду отрицательности

Сформулируем правило нахождения допустимого первоначального опорного плана:

Если в столбце свободных членов есть отрицательные элементы, выберите из них наибольший по модулю, а в его строке любой отрицательный. Взяв этот элемент в качестве разрешающего, пересчитайте таблицу по прежним правилам 3.1–3.5.

Если в полученной таблице все элементы столбца свободных членов стали положительны, либо равны 0, то данное базисное решение можно взять в качестве первоначального опорного плана. Далее дорешать задачу симплекс-методом. Если в столбце свободных членов не все элементы неотрицательны, то еще раз воспользоваться этим правилом.

Применим правило для задачи о рационе. В качестве разрешающей строки табл.2.9 нужно выбрать первую. А разрешающим элементом выберем, к примеру, элемент -4. Заметим, что строка определяется по правилу однозначно, т.к. а выбор разрешающего элемента имеет некоторую степень свободы.

Таблица 2.10

базисные				свободные
	–

Переменная вошла в базис вместо (все вычисления осуществлялись по правилу 3.2–3.5). В правом столбце еще остался отрицательный элемент, воспользуемся правилом еще раз. Строка переменной – разрешающая, а в качестве разрешающего элемента возьмем, к примеру . Получим таблицу 2.11 . Таблица 2.11

базисные				свободные

Полученный базисный план является допустимым, и к тому же оказывается оптимальным, т.к. в индексной строке нет отрицательных элементов. Оптимальное значение целевой функции F*=165. Действительно,

В этой задаче не пришлось улучшать найденный первоначальный опорный план, т.к. он оказался оптимальным. Иначе мы должны были вернуться к III этапу.