5.3. Приклад розв’язання задачі за допомогою угорського методу

Нехай в результаті вирішення основної транспортної задачі ми отримали оптимальні обсяги перевезень x_ij>=0 у кількості (m+n–1). З урахуванням матриці відстаней можна отримати відповідну матрицю обсягів транспортної роботи (ТР) , причому кількість її ненульових елементів також дорівнює (m+n–1).

Перенумеруємо всі ненегативні обсяги A_TPij від 1 до (m+n–1), рухаючись послідовно по кожному рядку матриці обсягів ТР зверху до низу. В результаті отримуємо матрицю-строку А = {A_j}, ( ), де N = (m+n– 1) – кількість необхідних ТР.

Припустимо, що для виконання спланованих обсягів перевезень передбачено також N транспортних засобів (ТЗ), кожний з котрих характеризується деякою продуктивністю виконання одиниці тієї чи іншої ТР (П_ij – продуктивність виконання i – м ТЗ j – ї ТР, де , ). Очевидно, що термін виконання j – ї ТР i – им ТЗ дорівнює

З метою застосування при розв’язанні цієї задачі алгоритму угорського методу призведемо з матрицею T_рч – матрицею робочого часу виконання ТЗ відповідних транспортних робіт наступні перетворення, а саме:

• знайдемо у матриці T максимальне значення – саму довгу за терміном виконання транспортну роботу;

• потім порахуємо за який робочий час t_роб буде вона виконана, причому час виконання буде кратним 8 (кількості робочих годин у зміну);

• побудуємо нову матрицю T_вч, елементи якої означають вільний час, який залишиться після виконання усіма ТЗ відповідних транспортних робіт.

При такому розгляді проблеми стає актуальною задача розподілу N транспортних засобів, що забезпечує максимальний загальний строк вільного часу, який залишився після виконання всього комплексу зазначених транспортних перевезень, тобто

, (1)

при обмеженні, що один ТЗ може бути призначений лише для виконання однієї ТР з зазначеного комплексу робіт.

Розглянемо вищеописану методику на конкретному прикладі – оптимальному плану перевезень вантажу з табл. 55, який був отриманий за допомогою методу потенціалів (див. табл. 56).

Таблиця 56

Тт з оптимальним планом перевезень вантажу

	B1	B2	B3	B4	Запасиai
A1	4	7	2 70	5 30	100
A2	3 80	6	1 40	8	120
A3	9	3 100	6	2 40	140
Заявки bj	80	100	110	70	360

З табл. 56 формуємо матрицю-строку А = {A_j}, ( ), де N = (m+n– 1) – кількість необхідних ТР: 70×2 = 140; 30×5 = 150; 80×3 = 240; 40×1 = 40; 100×3 =

300; 40×2 = 80. Припустимо, що задана матриця П_ij–продуктивності виконання i–м ТЗ j–ї ТР:

	10	20	30	40	10	20
	30	40	10	20	30	40
П =	40	30	20	10	40	30
	20	10	40	30	20	10
	10	30	20	40	10	30
	20	40	10	30	20	40

Розрахуємо по формулі (з приведенням до цілого числа) матрицю T_рч – матрицю робочого часу виконання ТЗ відповідних транспортних робіт:

	14	8	8	1	30	4
	5	4	24	2	10	2
Трч=	4	5	12	4	8	3
	7	15	6	1	15	8
	14	5	12	1	30	3
	7	4	24	1	15	2

Побудуємо нову матрицю T_вч, елементи якої із розрахунку t_роб = 8(8 годин у зміну)×4(зміни) = 32 години:

	18	24	24	31	2	28
	27	28	8	30	22	30
Твч=	28	27	20	28	24	29
	25	17	26	31	17	24
	18	27	20	31	2	29
	25	28	8	31	17	30

При рішенні завдання використаємо наступні позначення: знак виділення '+', що підлягає знищенню, обводимо кружком.

Попередній етап. Відшукуємо максимальний елемент першого стовпця – 28. Віднімаємо з нього всі елементи цього стовпця. Аналогічно для одержання другого, третього, четвертого, п’ятого й шостого стовпців нової матриці віднімаємо всі елементи цих стовпців від 28, 26, 31, 24 і 30 відповідно. Одержимо матрицю С₀(C₀~Т_вч).

	10	4	2	0	22	2
	1	0	18	1	2	0
С0=	0	1	6	3	0	1
	3	11	0	0	7	6
	10	1	6	0	22	1
	3	0	18	0	7	0

Тому що в кожному рядку С₀ є хоча б один нуль, то на цьому процес приведення матриці закінчується. Далі шукаємо й відзначаємо знаком '*' незалежні нулі в С₀, починаючи з першого рядка. Число незалежних нулів дорівнює 5 (5 ≠ n(6)), тому переходимо на першу ітерацію.

	10	4	2	0*	22	2
	1	0*	18	1	2	0
С0=	0*	1	6	3	0	1
	3	11	0*	0	7	6
	10	1	6	0	22	1
	3	0	18	0	7	0*