2.1.2. Оценка адекватности уравнения регрессии
С целью проверки адекватности уравнения регрессии оценим ковариационную матрицу коэффициентов регрессии вектора b по выражению:
, (8)
где
.
Учитывая, что на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов регрессии, имеет формулу для их расчета:
(9)
Адекватность
уравнения регрессии, т.е. нулевая гипотеза
проверяется по F
-критерию, наблюдаемое значение которого
определяется по формуле
(10)
где
По
таблице F
распределения (приложение 3) для заданных
находим
.
Гипотеза
отклоняется со значимостью
,
если
.
На
этом этапе проверки значимости
коэффициентов регрессии проверяется
нулевая гипотеза
.
Для каждого коэффициента вычисляют
наблюдаемое значение критерия Стьюдента:
(11)
По
таблице t
-распределения (приложение 1) для заданного
и
находим
.
Гипотеза
отвергается, если
,
из чего следует, что
- значим. В противном случае соответствующая
переменная в модель не включается. Тогда
реализуется алгоритм пошагового
регрессионного анализа: из модели
исключается переменная, которой
соответствует минимальное значение
и вновь выполняется регрессионный
анализ, но с числом факторов, уменьшенным
на единицу и т.д. Алгоритм заканчивается
получением уравнения регрессии со
значимыми коэффициентами.
Интервальная оценка для имеет вид:
, (12)
где
табличные значение
находят для заданного уровня доверительной
вероятности
по таблице t
- распределения для
и
.
Интервальная
оценка уравнения регрессии выполняется
в точке, определяемой вектором начальных
условий
(13)
где определяется, как в предыдущем случае.
По
мере удаления
от вектора средних
,
ширина доверительного интервала при
заданном
будет увеличиваться (где
).
2.1.3. Явление мультиколлинеарности
Является
препятствием эффективного применения
множественного регрессионного анализа,
и связано с линейной зависимостью
переменных
.
В результате мультиколлинеарности
матрица
становится слабо обусловленной, т.е. ее
определитель близок к нулю. Это, в свою
очередь, приводит к плохой обусловленности
оценок
и большим значениям дисперсии
,
так как в вычисления матрицы
присутствует операция деления на ее
определитель. Отсюда же следуют заниженные
значения
и повышенное значение множественного
коэффициента корреляции.
На
практике о наличии мультиколлинеарности
судят по значениям парных коэффициентов
корреляции. Если один из
,
то считают, что имеет место
мультиколлинеарность и один из факторов
(либо j
- ый, либо i
–ый) исключают из модели.
Чтобы априори избавиться от этого негативного явления, обычно используют пошаговый регрессионный анализ, либо методы компетентного анализа (построение уравнения регрессии на главный компонентах).