1.2. Порядок выполнения работы
1.2.1. Сформировать произвольно 4 ряда данных и согласовать их с преподавателем.
1.2.2. Рассчитать векторы средних и среднеквадратических отклонений и матрицу парных коэффициентов корреляции (x, S, R).
1.2.3.
Проверить при
значимость и найти его интервальную
оценку с доверительной вероятностью
.
1.2.4.
По корреляционной матрице R
рассчитать частный коэффициент корреляции
.
1.2.5. Проверить при значимость частного коэффициента корреляции и определить его интервальную оценку при .
1.2.6.
По корреляционной матрице R
вычислить оценку множественного
коэффициента корреляции
и при
проверить гипотезу
1.3. Содержание отчета
1.3.1. Исходные данные.
1.3.2. Расчет векторов средних и среднеквадратических отклонений.
1.3.3. Расчет матрицы парных коэффициентов корреляции.
1.3.4.
Проверка значимости парных коэффициентов
корреляции
,
.
1.3.5. Определение интервальных оценок , .
1.3.6. Расчет частного коэффициента корреляции .
1.3.7. Расчет множественного коэффициента корреляции .
1.3.8.
Проверка гипотезы
.
1.4. Контрольные вопросы
1.4.1. Назначение и область применения метода корреляционного анализа.
1.4.2. Сущность метода корреляционного анализа и основные расчётные соотношения.
1.4.3. Способ получения, форма представления и необходимое количество исходных данных.
1.4.4. Критерии и методы оценки результатов решения задачи корреляционного анализа.
1.4.5. Анализ результатов решения данного варианта задачи.
1.5. Пример
Имеется
выборка из n=8
наблюдений
,
и
:
|
30 |
20 |
40 |
35 |
45 |
25 |
50 |
30 |
|
20 |
30 |
50 |
70 |
80 |
20 |
90 |
25 |
|
20 |
25 |
20 |
15 |
10 |
30 |
10 |
20 |
Требуется:
1) Оценить параметры генеральной совокупности, которая предполагается нормально распределенной.
2)
При
проверить значимость частных коэффициентов
корреляции
и построить интервальную оценку для
3)
Найти точечную оценку множественного
коэффициента корреляции
и для
проверить его значимость
Решение
1)
Исходные данные и промежуточные
результаты помещаем с таблицу Excel
в столбце C
при необходимости суммируются данные
строк, в столбце D
вычисляются их средние значения, а в
столбце E
– вычисляются среднеквадратические
отклонения (по формулам (3)). Результаты
расчетов должны дать следующие числа:
;
;
;
;
A |
B |
C |
D |
E |
Переменные |
Данные |
|
Среднее значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание: для вычисления средних значений и среднеквадратических отклонений можно воспользоваться функциями СРЗНАЧ( ) и СТАНДОТКЛНП( ).
Аналогично
вычисляются коэффициенты
и
.
По результатам вычислений получаем:
;
;
Примечания: |
a. Для проверки значений коэффициентов корреляции воспользоваться командой процессора Сервис/Анализ данных и процедурой Корреляция, установив соответствующий переключатель группирования данных в положения: По столбцам или По строкам. b. Вычислить коэффициенты корреляции с использованием функции КОРРЕЛ ( ), в которой в качестве аргумента используются ссылки на два массива исходных данных. |
2) Предварительно найдем точечные оценки частных коэффициентов корреляции
,
где
- алгебраическое дополнение элемента
матрицы R
;
;
.
Примечания: при вычислении определителей матриц воспользоваться математической функцией МОПРЕД( ).
Частные коэффициенты корреляции должны иметь значения:
;
;
.
Для
проверки значимости частных коэффициентов
найдем
для
и
,
где
- порядок коэффициента корреляции (в
нашем случае
).
Предварительно найдем критическое
значение статистики Стьюдента
для заданных
и
(приложение 1):
.
Тогда из формулы (7) можно вывести
Примечание:
значение
можно найти непосредственно по формуле
(7) с использованием инструмента
Сервис/Подбор
параметра.
Для этого выделим любую ячейку, например
B20
под искомое значение
,
а в произвольную ячейку, например B21,
формулу для вычисления
Выполняем команду Сервис/Подбор параметра. В открывшемся диалоге в поле «Установить в ячейке» помещаем ссылку на ячейку B21, в поле «Значение» заносим число 2,571, а в поле «Изменяя значение ячейки» указываем ссылку на ячейку B20. Нажимаем клавишу ОК. В результате выполнения процедуры в ячейке B20 появится число 0,754, являющееся критическим значением частного коэффициента корреляции.
Так
как модули всех частных коэффициентов
,
то гипотезе
не отвергается, т.е. предположение о
равенстве нулю этих коэффициентов не
противоречит наблюдениям (хотя
справедливости ради необходимо отметить,
что n=8
очень мало).
Примечание:
значение t
– критерия Стьюдента можно получить
посредством табличной функции
СТЬЮДРАСПОБР(
).
Определим интервальную оценку для при . Для этого используем z – преобразование Фишера:
Находим точечную оценку
,
являющуюся как бы образом точечной
оценки
.
По таблице z(r)
и учитывая, что функция z
(-r)=-z
( r)
для
находим
Примечание: переход из области r в область z и обратно z → r помимо использования таблиц можно осуществлять еще двумя способами:
a) Непосредственно вычисляя z по формуле z={ln (1+r) – ln (1-r)}/2. Тогда обратный переход, т.е. нахождение r по заданному z можно выполнить с помощью инструмента «Подбор параметра».
b) Использовать функции процессора z:=ФИШЕР(r) и r:=ФИШЕРОБР(z).
по таблице нормального закона распределения
при заданной вероятности P=0.95
находим t=1.65.
Примечание: решение прямой, т.е. нахождение P по заданному t, и обратной, т.е. нахождение t по заданной вероятности P, задач возможно с использованием функции процессора P=НОРМСТРАСП(t) и t=НОРМСТОБР(P).
находим интервальную оценку для образа:
откуда
Используя обратное преобразование Фишера, находим границы изменения оригинала
полученная оценка подтверждает вывод о не значимости частного коэффициента корреляции , т.к. нуль находится внутри доверительного интервала.
3) Найдем точечную оценку множественного коэффициента корреляции и проверим его значимость при . Точечная оценка коэффициента находится по формуле:
,
где
- определитель корреляционной матрицы.
Примечание: в среде табличного процессора определитель матрицы вычисляется посредством функции МОПРЕД ( ), в которой в качестве аргумента выступает ссылка на блок ячеек, элементы матрицы.
В
рассматриваемом примере
тогда
.
Проверим
гипотезу
с помощью F
– критерия:
.
Критическое значение критерия по таблице F – распределения:
Примечание:
для вычисления F
– критерия можно использовать табличную
функцию FРАСПОБР
Так
как
,
то гипотеза
отвергается, т.е. множественный коэффициент
корреляции не равен нулю.
Литература: /1. с. 175-184, 188-192, 202-204; 2. с. 202-203, 208-213, 269-276; 4. с. 293-296/.