7.2.1. Математические модели реакторов идеального смешения

Уравнение модели РИС записывается в виде математического выражения, характеризующего изменения концентрации в реакционной среде во времени, которое обусловливается, во-первых, движением потока и, во-вторых, химическим превращением. Поэтому указанную модель следует строить на основе типовой МИС с учетом скорости химической реакции:

(7.3)

где r_i – скорость i-й химической реакции.

Если принять, что исходным является вещество А и заменить величины c_вх = c_А0, c = c_а, r_i =– r_А (концентрация вещества А убывает), а также представить время пребывания, как отношение реакционного объема к объемной скорости  = V/v, то уравнение (7.3) примет вид:

(7.4)

При установившемся режиме работы реактора (dc/dt = 0) уравнение (7.4) можно записать в виде:

, (7.5)

откуда

. (7.6)

Уравнение (7.5) является статической моделью химического реактора типа идеального перемещения в общем виде. Формула (7.6) позволяет найти основные параметры, характеризующие работу и экономичность химических реакторов данного типа, т.е.

– время пребывания исходного вещества в реакторе  = V/v, от величины которого зависит объем аппарата (чем меньше V, тем меньше );

– изменение концентрации исходного вещества во времени c_A = f(t), концентрации целевых и побочных продуктов c_S, c_R.

Так как рассматриваемый процесс стационарен, c_A во времени не меняется и имеет одинаковые значения во всех точках реактора. При различных значениях  (т.е. при изменении v или V или того и другого) значение c_A будет различно (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Распределение концентраций исходного реагента по объему РИС при различном времени контакта

Рассмотрим модель реактора идеального смешения, в которой протекает простая элементарная реакция типа

.

Подставим значение скорости элементарной реакции r = k  c_A в уравнение модели идеального смешения. Тогда

, (7.7)

откуда можно найти значение c_А:

. (7.8)

Если воспользуемся известной зависимостью концентрации от степени превращения c_A = c_A0(1 – x_A), то получим уравнение для определения  в зависимости от x_A

. (7.9)

Из выражения (7.9) можно получить

. (7.10)

Скорость реакции для параллельной реакции типа

Выражается для компонента А

r_A = (k₁ + k₂)c_A. (7.11)

Следовательно, время пребывания , согласно модели идеального смешения, с учетом параллельной реакции будет

(7.12)

или в зависимости от степени превращения

. (7.13)

Формулу вычисления концентрации исходного вещества С_A получим из уравнения (7.12)

. (7.14)

Чтобы найти расчетную зависимость для вычисления концентрации c_s продукта S, используется модель (7.6), в которой скорость реакции выражается по получаемому продукту S. Поскольку обычно c_S0 = 0, а r_S = – r_A, то

. (7.15)

Следовательно,

(7.16)

откуда

. (7.17)

Аналогично находим:

. (7.18)

Обратимая реакция типа

.

Скорость реакции по компоненту А в данном случае – r_A = k₁c_A – k₂c_S.

Чтобы избавиться в последнем выражении от c_S, используем выражение материального баланса: c_A0 + c_S0 = c_A + c_S. Обычно c_S0 = 0, поэтому c_S = c_A0 – c_A и

– r_A = (k₁ + k₂)c_A – k₂c_A0, (7.19)

тогда

(7.20)

В результате преобразования уравнения (7.20) в явной форме относительно С_А имеем:

. (7.21)

Если подставить значение с_А в уравнение c_S = c_A0 – c_A, то получим выражение для c_S:

. (7.22)

Нами были рассмотрены процессы в реакторе идеального смешения, когда реакции описывались наиболее простыми стехиометрическими и кинетическими уравнениями, поэтому решения их сравнительно просты.