1.4.3. Двойственный симплекс-метод

Тесная связь между двумя взаимно двойственными задачами проявляется не только в равенстве оптимальных значений целевых функций, о чем утверждает 1-я теорема двойственности, но и в связи между переменными этих задач.

А именно: после приведения к каноническому виду каждой из двойственных задач дополнительным базисным переменным одной задачи соответствуют основные (свободные) переменные другой задачи и наоборот ( табл. 1.4.1).

Таблица 1.4.1

Соответствие переменных

Переменные исходной задачи
Основные	Дополнительные
Дополнительные	Основные
Переменные двойственной задачи

Рассмотрим решение двойственных задач методом, основанным на взаимно однозначном соответствии между переменными этих задач. Для этого симплекс-методом решается задача максимизации и по последней симплекс-таблице, учитывая соответствие между переменными, определяется решение двойственной задачи на минимум.

Пример. Решить задачу линейного программирования (1.4.1) и двойственную к ней.

Ранее мы уже составляли задачу, двойственную к данной (см. п.1.4.2, пример 1).

(1.4.1)

Приведем эти задачи к каноническому виду.

Исходная задача	Двойственная задача

Установим соответствие между переменными этих задач.

Основные	Дополнительные
Дополнительные	Основные

Решим исходную задачу симплекс-методом. Выпишем последнюю симплекс-таблицу (табл. 1.4.2).

Таблица 1.4.2

Последняя таблица

БП СП
	СП БП				Свободные члены
					40
					20
					60
	f	125	200	50	20000

По соответствию переменных добавим верхнюю строку и левый столбец переменных двойственной задачи. Учитывая, что свободные переменные равны нулю, получим:

, , .

Отбрасывая значения дополнительных переменных в каждом из полученных решений, будем иметь

, .

Такой же результат был получен в примере 1, п.1.4.2.