Алгоритм поиска первоначального опорного плана

1. Если в столбце свободных членов есть отрицательные элементы, выбираем из них максимальный по модулю, а в его строке – любой отрицательный. Взяв его в качестве разрешающего элемента, пересчитываем таблицу по правилам 3в–3ж предыдущего алгоритма. Если строка не содержит отрицательных элементов, то система ограничений несовместна, т. е задача решений не имеет.

2. Если в полученной таблице все элементы столбца свободных членов стали неотрицательными, то данное базисное решение можно взять в качестве первоначального опорного плана и решать задачу симплекс-методом. Иначе переходим к пункту 1.

1.4. Двойственность в линейном программировании

1.4.1. Постановка двойственной задачи

Каждую задачу линейного программирования можно определенным образом сопоставить с другой задачей линейного программирования, называемой двойственной по отношению к исходной. Совместное изучение исходной задачи и двойственной к ней дает, как правило, значительно больше информации, чем изучение каждой из них в отдельности.

Пусть дана пара задач линейного программирования.

Задача 1 – исходная Задача 2 – двойственная

при ограничениях при ограничениях

					любая любая
	любая любая

Условия задач 1 и 2, соответствующие друг другу по стрелке , называются сопряженными. Задачи 1 и 2 называются двойственными друг к другу. Смысл, который вкладывается в это название, состоит в следующем.

1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, а в другой – минимум.

2. Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.

3. Каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи.

4. Коэффициенты системы ограничений одной задачи образуют транспонированную матрицу коэффициентов системы ограничений другой.

5. В задаче на максимум все неравенства системы ограничений имеют вид « », а в задаче на минимум – вид « ». Если для некоторого неравенства это требование не выполняется, то его умножают на (–1).

Пример. Построить задачу, двойственную следующей задаче:

.

Прежде чем приступить к составлению двойственной задачи, необходимо упорядочить запись исходной задачи, согласовав знаки неравенств в ограничениях с целевой функцией, а затем по правилам 1–5 составить двойственную задачу.

Исходная задача	Двойственная задача
любая, любая.	любая,

1.4.2. Теоремы двойственности

Двойственность является одним из функциональных понятий теории линейного программирования. Исключительно важную роль играют следующие утверждения, получившие название теорем двойственности.

Первая основная теорема двойственности. Если разрешима одна из пары двойственных задач, то разрешима и другая задача, причем оптимальные значения целевых функций совпадают, т. е. .

Если в одной из двойственных задач целевая функция не ограничена, т. е. или , то другая задача не имеет допустимых решений.

Вторая теорема двойственности (критерий оптимальности). Для оптимальности допустимых решений и пары двойственных задач необходимо и достаточно, чтобы они обращали в равенство хотя бы одно из каждой пары сопряженных условий.

Сформулированные теоремы позволяют определить оптимальное решение одной из пары задач по решению другой.

Рассмотрим решение задач с использованием теорем двойственности.

Пример 1. Решить двойственную задачу, если известна прямая задача и её оптимальное решение:

Составим двойственную задачу.

Исходная задача	Двойственная задача

Обозначим оптимальное решение двойственной задачи . На основании 1-й теоремы двойственности , т. е. . Подставим в условие исходной задачи, а в условие двойственной задачи. По 2-й теореме двойственности хотя бы одно из сопряженных условий должно обращаться в равенство. Из этого имеем:

Из полученных уравнений в системе ограничений двойственной задачи найдем :

, причем

.

Пример 2. Не решая задачи

исследовать на оптимальность план .

Указанный план является допустимым, т. к. он удовлетворяет ограничениям данной задачи. По 1-й теореме двойственности, если – оптимальный план, то двойственная задача также имеет оптимальное решение, обозначим его .

Выпишем пару двойственных задач.

любая, любая.

любая,

При , с учетом 2-й теоремы двойственности :

любая, любая.

любая. .

Полученная система уравнений несовместна, что противоречит выводу о разрешимости двойственной задачи, следовательно, предположение об оптимальности плана ошибочно.