7.4. Вопросы и задачи для самопроверки

1. Основные понятия сетевого моделирования. Перечислите элементы сетевого графика, дайте их содержательную характеристику.

2. Перечислите основные временные параметры сетевого графика и формулы для их вычисления.

3. Укажите применение временных параметров для оптимизации сети.

4. Для сетевых графиков (рис. 7.7 а, б) найти , полные резервы работ, коэффициенты напряженности всех работ. Провести анализ cетевой модели.

9

5

6

9

4

2

7

12

5

3

5

7

1

1

7

5

8

4

2

3

3

4

8

7

а)

б)

Рис. 7.7. Сетевые графики

5. Раскройте сущность сетевого планирования в условиях неопределенности.

6. Для сетевого графика (табл. 7.8) заданы оптимистические и пессимистические оценки времени выполнения работ. Найти: 1) Т_кр; 2) доверительный интервал для Т_кр с доверительной вероятностью b = 0,9.

. Таблица 7.8.

Условие задачи 6

Работы	Предшествующие работы
а1	-	17,7	18
а2	-	17	18
а3	а1	5.5	6
а4	а1	20	21
а5	а2, а3	11	12
а6	а2, а3	17.5	18
а7	а4, а5	7	7,5
а8	а4, а5	11	11,5
а9	а8	17	18
а10	а8	15,5	16,5
а11	а7, а9	5	5,5
а12	а7, а9	16,5	17
а13	а6, а12	7,5	8,5
а14	а6, а12	11	12
а15	а10	14	16
а16	а11, а15	5,5	6

8. Решение задач на компьютере

8.1. Решение задач с использованием системы Mathcad

В новейшую версию системы Mathcad были введены специальные функции для поиска максимума и минимума функции

F(x₁,x₂, …, x_n):

maximize (F, x₁,x₂, …, x_n) и minimize (F, x₁,x₂, …, x_n).

Функции должны использоваться в составе блока решения задачи, открываемого словом Given. Результатом каждой из этой функций является вектор неизвестных, при котором функция имеет максимальное и минимальное значения. Внутри блоков Given … Maximize или Given … Minimize могут быть различные ограничительные условия в виде равенств или неравенств. Число условий практически не ограничено. Перед блоком Given … необходимо ввести начальные значения переменных. Покажем решение поставленной задачи.

Пример 1. Получена модель задачи распределения неоднородных ресурсов: найти план выпуска продукции X(x₁,x₂,x₃), при котором целевая функция (доход) достигает максимума:

F(X) = 4x₁+5x₂+3x₃ →max;

и выполняются ограничения (по ресурсам):

4x₁ + 2x₂ ≤ 100,

0,5x₁ + 2,5x₂ + 3x₃ ≤ 500,

0,5x₁ + 0,5x₂ + 3x₃ ≤ 400,

0,5x₁ + 3x₃ ≤ 100,

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0.

Решение. Введя неотрицательные дополнительные переменные, приведем модель к канонической форме.

Найти план X = (x_1, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇) такой, чтобы

F(X) = 4x₁ + 5x₂ + 3x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ → max,

и выполнялась система:

4 x₁ + 2x₂ + x₃ + x₄ ≤ 100,

0,5x₁ + 2,5x₂ + 3x₃ + x₅ ≤ 500,

0,5x₁ + 0,5x₂ + 3x₃ + x₆ ≤ 400,

0,5x₁ + 3x₃ + x₇ ≤ 100,

x_j ≥ 0, (j =1, 2, …, 7).

Введем сначала поясняющий текст в рабочем листе. Для этого поместим курсор (визир – красный крестик) в месте ввода текста. Затем выберем (щелчком мыши или с помощью клавиатуры) пункт insert (Вставка) главного меню Mathcad. В появившемся меню щелкнем по пункту Text Region (текстовая область) или месте расположения курсора нажмем клавишу с двойной кавычкой (команда для ввода текста). В обоих случаях появится шаблон, указывающий место и начало ввода текста, после чего можно приступить к этой операции. Текстовая область будет автоматически увеличиваться по мере ввода текста. По окончании ввода выведем курсор за рамки текстовой области.

Далее введем критерий оптимизации целевой функции. Для этого поместим курсор (визир – красный крестик) в месте ввода математического выражения, затем, используя соответствующие клавиши, начнем ввод, в первую очередь имени критерия оптимизации с аргументами в скобках через запятые. Затем нажмем комбинацию Shift + : (двоеточие) для ввода знака присваивания := (двоеточие и знак «равно»). На месте правой метки помещаем все выражение критерия оптимизации. Аналогично вводятся начальные приближения.

Для решения задачи используем блок функций Given … Maximize. Для этого необходимо (см. рис 8.1):

• Ввести, если требуется, комментарии, ввод которых начинается с нажатия клавиши с двойной кавычкой;

• Ввести ключевое слово Given;

• Ввести систему ограничений с использованием жирного знака равенства, нажав комбинацию клавиш Ctrl + =;

• Ввести граничные значения;

• Ввести вектор-столбец искомых параметров, используя диалоговое окно Insert Matrix (Вставить матрицу) и комбинацию Ctrl+M. В диалоговом окне число строк (Rows) равно 7 (это число элементов вектора столбца), а число столбцов (Columns) – 1;

• Ввести знак присваивания, нажав комбинацию клавиш Shift + : (двоеточие);

• Ввести функцию Maximize с искомыми параметрами, используя диалоговое окно Insert Function (Вставить функцию) и комбинацию Ctrl + E;

• Ввести вектор-столбец искомых параметров и знак «равно».

На рис 8.1 показан процесс оптимизации с помощью системы Mathcad.

Оптимальный план получен в виде вектора (x1, x2, x3, …). Из полученного решения видно, что x₁=0, x₂= 50, x₃=75, x₄=0, x₅ =150, x₆=150, x₇=0. Оптимальное распределение ресурсов обеспечит получение максимальной прибыли F_max, которая составит 475 единиц.

Рис. 8.1. Решение примера 1

Пример 2. Решение транспортной задачи (условие – см. табл. 8.1).

Таблица 8.1

Условие транспортной задачи

Поставщики	Потребители					Запасы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	12	21	9	10	16	300
А2	13	15	11	13	21	280
А3	19	26	12	17	20	220
Потребности	180	140	190	120	170

Модель данной задачи написана непосредственно в системе Mathcad. Ввод данных и использование блока функций Given Minimize подробно описаны и примере 1. Решение задачи показано на рис. 8.2 и на рис. 8.3.

Рис. 8.2. Ввод данных транспортной задачи

Рис. 8.3. Результат решения транспортной задачи