7.3.3. Сетевое планирование в условиях неопределенности

 

При решении задачи сетевого планирования мы предполагали известным время выполнения каждой работы (из прошлого опыта). На практике часто встречается ситуация, когда комплекс работ планируется впервые, и экспертные оценки для величин отсутствуют. Приведем простейший вариант задачи сетевого планирования в этой ситуации.

1. Предполагается, что – случайная величина с некоторым законом распределения (вообще говоря, неизвестным); случайные величины для различных работ (i,j) предполагаются независимыми в совокупности.

2. Для каждой работы (i,j) предполагаются известными допустимые нижняя и верхняя границы времени t_ij:

Будем называть соответственно оптимистической и пессимистической оценками для времени t_ij.

3. По этим данным могут быть получены грубые оценки для математических ожиданий m_ij и дисперсий D_ij случайных величин :

(7.12)

По величинам m_ij, D_ij могут быть приближенно найдены временные характеристики сетевого графика и оценена их надежность.

4. Принимая t_ij » m_ij, находят временные характеристики и критический путь:

где – соответственно начальная и финальная вершины сетевого графика.

5. Находят оценки для математического ожидания и дисперсии длины критического пути:

(7.13)

(7.14)

6. Если критический путь состоит из достаточно большого числа дуг (что обычно выполняется на практике), то представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин:

и в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей независимо от законов распределения слагаемых случайная величина приближенно подчинена нормальному закону распределения с параметрами , где m, D вычислены в п. 5. Это означает, что для любого Т > 0 имеет место приближенная формула

Ф (7.15)

где Ф(х) – функция Лапласа (см. Приложение). Формула (7.15) позволяет оценить вероятность того, что время Т_кр на выполнение всего комплекса работ не превзойдет заданной величины Т.

7. Формула (7.15) позволяет также построить доверительный интервал для неизвестного истинного значения Т_кр по заданной доверительной вероятности b: с вероятностью b имеет место двойное неравенство

(7.16)

где х_b - корень уравнения.

(7.17)

В самом деле, из (7.15) следует

Ф

Пример. Для сетевого графика, указанного в табл.7.6, заданы оптимистические и пессимистические оценки для времен t_ij выполнения работ. Требуется найти:1) оценки временных характеристик; 2) критический путь; 3) вероятность того, что Т_кр не превзойдет заданной величины Т = 37; 4) доверительный интервал для Т_кр с доверительной вероятностью b = 0,95.

Решение. 1. По данным табл. 7.6 получим табл. 7.7, вычислив оценки для математических ожиданий m_ij и дисперсий D_ij случайных величин t_ij по формулам (7.12), построим сетевой график, вычислим t_p(i), t_n(i), r_i для всех вершин, найдем критический путь (рис. 7.6) и критическое время:

1®2®5®6®7®8®9®10®11®12®13; Т_кр = 35,9.

2. Найдем оценки для математического ожидания и дисперсии длины критического пути по формулам (13),(14):

m » 1,6 + 3,6 + 2,8 + 3,9 + 4,9 + 4,2 + 4,2 + 3,1 + 1,7 + 5,9 » 35,9;

D » 0,03 + 0,03 + 0,007 + 0,063 + 0,063 + 0,11 + 0,11 + 0,03 + 0,063 +

+ 0,063 » 0,569;

Таблица 7.6 Таблица 7.7

Оценки работ Оценки m_ij и D_ij

Работы аi	Предшествующие работы				Работы	tij » mij	Dij
а1	-	1	2		а1	1,6	0,03
а2	-	1,5	2,5		а2	2,1	0,03
а3	-	4	6		а3	5,2	0,11
а4	а1	3	4		а4	3,6	0,03
а5	а4	2,5	3		а5	2,8	0,007
а6	а5	3	4,5		а6	3,9	0,063
а7	а6	4	5,5		а7	4,9	0,063
а8	а7	3	5		а8	4,2	0,11
а9	а2	1	2		а9	1,6	0,03
а10	а8, а9	3	5		а10	4,2	0,11
а11	а3	1,5	3		а11	2,4	0,063
а12	а10, а11	2,5	3,5		а12	3,1	0,03
а13	а12	1	2,5		а13	1,7	0,063
а14	а10, а11	2	3		а14	2,6	0,03
а15	а13, а14	5	6,5		а15	5,9	0,063

  

3. По формуле (7.15) найдем: Ф

Ф Ф(1,45)

Так как полученная вероятность близка к 100%, то с достаточной степенью надежности можно прогнозировать выполнение проекта в установленный срок.

4. Найдем доверительный интервал для при доверительной вероятности По формуле (7.17) имеем

По таблице функции Лапласа найдем Таким образом, по формуле (7.16) с вероятностью b = 0,95 выполняется неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В заключение отметим, что мы рассмотрели задачи, в которых речь идет о соблюдении сроков выполнения комплекса работ. Однако, на практике необходимо дополнительно к оценкам сроков работ вводить их стоимости. Задача оптимизации сетевого графика методом «время–стоимость» подробно рассмотрена в [1],[5].