6. 3. Некоторые задачи теории графов

6.3.1. Поиск кратчайшего пути в графе

Пусть дан некоторый граф, каждому ребру которого поставлено в соответствие некоторое число l(V_i, V_j) – длина этого ребра. Тогда длиной пути в графе называется сумма длин ребер, образующих этот путь. Требуется найти кратчайший путь от некоторой вершины S до вершины t.

Алгоритм поиска кратчайшего пути

Алгоритм основан на присвоении вершинам графа меток. Каждой вершине графа можно присвоить врéменную или постоянную метки, состоящие из двух чисел: ( ), где – расстояние от S до вершины ; j – номер вершины V_j, непосредственно предшествующей вершине на пути от S до .

На каждом шаге с помощью некоторой процедуры метки изменяются. Если согласно методу метка вершины становится постоянной, то кратчайшее расстояние от S до найдено:

.

Рядом с постоянной меткой будем ставить знак ⁺.

Шаг 1. Присвоение начальных меток.

Полагаем d(S) = 0, и метку (0;S)⁺ считаем постоянной. Для всех остальных вершин полагаем и считаем их метки врéменными. Обозначим P = S.

Шаг 2. Обновление меток.

Для всех вершин , смежных с вершиной Р и имеющих врéменные метки, изменяем метки по правилу

новая

метка

старая метка

, (*)

j – изменяется в случае изменения первого числа в метке и становится равным номеру вершины P.

Шаг 3. Превращение метки в постоянную.

Среди всех вершин с врéменными метками выбираем вершину с минимальным расстоянием, т. е. и считаем эту метку постоянной, т. е. ставим рядом с меткой знак + и полагаем

Шаг 4. Анализ решения.

1. Нахождение кратчайшего пути от вершины S до вершины t:

а) если P = t, то поиск закончен, кратчайшее расстояние от S до t равно d(P); для описания кратчайшего пути переходим к шагу 5;

б) если P ¹ t, то возвращаемся к шагу 2.

2. В случае, когда нужно найти кратчайшее расстояние от вершины S до всех вершин графа, проверяем, если метки всех вершин постоянные, то переходим к шагу 5. В противном случае возвращаемся к шагу 2.

Шаг 5. Описание кратчайших путей.

Описание кратчайших путей от вершины S до любой вершины начинаем с вершины , т. е. с конца, и используем информацию в метках (второе число).

Пример. Найти кратчайшие пути от вершины S до всех остальных вершин графа, изображенного на рис. 6.8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Вычисленные на каждом этапе метки удобно заносить в соответствующие строки заранее приготовленной табл.6.1, а в вершинах графа проставлять постоянные метки.

1. Вершине S присвоим метку, равную (0;S) и считаем ее постоянной. Всем остальным вершинам присвоим врéменные метки, т. е. d(S) = 0, d(V_i) = ¥, (i = 1, 2, 3, …, 9) и полагаем P = S (см. первую строку табл. 6.1).

2. Обновляем метки.

Рассмотрим вершины, смежные с вершиной P, и для них по правилу (*) обновим метки.

d(V₁) = min{¥, 0+8} = 8, j = S; d(V₂) = min{¥, 0+13} = 13, j = S;

d(V₃) = min{¥, 0+15} = 15, j = S; d(V₄) = min{¥, 0+10} = 10, j = S.

Записываем метки во вторую строку табл. 6.1.

Таблица 6.1

Вычисление меток вершин графа

S	v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7	v8	v9
0;S+	¥	¥	¥	¥	¥	¥	¥	¥	¥
	8;S+	13;S	15;S	10;S	¥	¥	¥	¥	¥
		12;1	15;S	10;S+	¥	23;1	¥	¥	¥
		12;1+	14;4		19;4	23;1	¥	22;4	¥
			14;4+		17;2	23;1	¥	22;4	¥
					17;3+	23;1	¥	22;4	¥
						21;5	19;5+	22;5	¥
						21;5+		22;5	26;7
								22;5+	25;6
									25;6+

3. Среди всех вершин с врéменными метками выбираем вершину с минимальным расстоянием и считаем ее метку постоянной.

Очевидно, d(V₁) = min{d(v_i)}, i = 1,…, 9; следовательно,

(d(V₁);S) = (8;S)⁺ и полагаем P = V₁, d(P) = 8.

4. Возвращаемся к шагу 2. Смежными с вершиной V₁ являются вершины V₂ и V₆.

Имеем d(V₂) = min{13, 8+4} = 12, j =1; d(V₆) = min{¥, 8+15} = 23;

j =1.

Заполняем третью строку табл. 6.1. Метка вершины V₄ становится постоянной.

Продолжаем так процедуру до тех пор, пока метки всех вершин не станут постоянными.

5. Построим кратчайшие пути от вершины S до всех вершин (рис. 6.9). Например, кратчайший путь от S до V₉: метка V₉ (25; 6) показывает, что S_min = 25, непосредственно предшествующая вершина на пути от S до V₉ будет V₆ (второе число в метке 6).

Метка V₆ (21; 5), т. е. расстояние от S до V₆ равно 21, предшествующая вершина V₅ и т. д.

Получим путь S® V₁® V₂® V₅® V₆® V₉.