6.2. Способы представления графов

Важнейшим этапом в решении любой задачи является выбор метода решения и построение математической модели. Для представления данных задачи приближенные решения на ПК не менее важным является конструирование структур данных. Выбор наилучшего представления определяется требованиями конкретной задачи и возможностями компьютера. Укажем несколько основных способов представления графа, которые различаются объемом занимаемой памяти ПК и скоростью выполнения операций.

1. Матрица инциденций вершин и ребер графа , где n – число вершин, m – число ребер графа.

.

Для неориентированного графа

если вершина инцидентна ребру ;

в противном случае.

П ример

Д

если вершина является концом дуги ;

если вершина является началом дуги ;

если вершина и дуга не инцидентны.

ля ориентированного графа

Пример

e₈

.

Недостаток данного представления состоит в том, что требуется ячеек памяти компьютера, большинство из которых занято нулями и для ответа на вопросы «Есть ли в графе дуга ?», «К каким вершинам ведут ребра из вершины ?» требуется перебор всех столбцов матрицы А.

2. Матрица смежности вершин графа

если вершина и смежны;

в противном случае.

, где

Матрица В – квадратная размерностью , симметрическая с нулями на главной диагонали.

– Матрица В для графа, изображенного на рис. 6.6.

Преимущество данного способа представления графа в том, что за один шаг алгоритма можно получить ответ на вопрос «Существует ли в графе ребро ?», подсчитать степень какой-либо вершины (число единиц в соответствующей строке).

3. Список ребер, отражающий список пар смежных вершин. Для описания каждого ребра требуется по две ячейки памяти, поэтому объем занимаемой памяти .

Пример списка ребер для графа на рис. 6.6:

1	1	1	1	2	3	3	4
2	3	4	5	3	4	5	5

Пример списка дуг для орграфа на рис. 6.7:

1	1	2	2	3	3	4	5
2	3	3	4	2	4	5	4

Отметим, что в теории графов доказаны теоремы.

Т. 1. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы инцидентности получаются друг из друга произвольными перестановками строк и столбцов.

Т. 2. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности получаются друг из друга одинаковыми перестановками строк и столбцов.

Т. 3. Эйлеров путь существует в графе тогда и только тогда, когда граф связен и имеет не более двух вершин нечетной степени (концы пути).

Эйлеров цикл в орграфе существует тогда и только тогда, когда граф связный и степени всех его вершин четные.