Функции дохода

х
15	9	12	13	13
30	16	30	29	35
45	27	45	38	40
60	38	50	49	55
75	45	60	60	72
90	68	70	80	80

3. В условиях задачи 6.2 определить оптимальное распределение 75 тыс. усл. ден. ед.

4. В условиях задачи 6.2 определить максимальное распределение 90 тыс. усл. ден. ед. между тремя предприятиями (1, 2, 3).

6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

6.1. Основные определения

Одним из универсальных средств представления информации о специфике различного рода технических, экономических процессов и функционирования системы являются графовые модели. Теория графов, особенно алгоритмы на графах находят мировое применение в программировании. Стройная система специальных терминов и обозначений теории графов позволяет просто и доступно описывать сложные процессы. Само название «граф» подразумевает наличие графической интерпретации.

Графом G(V,E) называется совокупность двух множеств:

V – непустое множество вершин;

E – множество неупорядоченных пар вершин (ребер).

Примеры графов представлены на рис. 6.1.

Пусть V₁, V₂ – вершины; – ребро, соединяющее эти вершины. Ребро называют интцидентным вершине V₁ и вершине V₂. Вершины V₁ и V₂ называются смежными. Ребра e₁, e₂, e₃ инцидентные одной вершине (рис. 6.1.а) называются смежными.

Е

V₁

сли E – это множество упорядоченных пар, то граф называется ориентированным (или орграфом), а элементы множества E, т. е. e₁,e₂,… называются дугами.

Орграф с дугами, изображающими связь между вершинами, называется сеть.

Вершины сети нумеруют, дугу обозначают (i, j), где i – номер вершины, из которой исходит дуга; j – номер вершины, в которую входит дуга. Дуга имеет свою характеристику, например, t_i,j – время движения из вершины из вершины i в вершину j; с_i,j – стоимость перемещения; d_i,j – пропускная способность дуги и т. п.

Граф называется подграфом графа , если или (и)

Подграф называется основным подграфом G, если

Количество ребер, инцидентных вершине V, называется степенью (ли валентностью) вершины V. Обозначение – Очевидно, что для любой вершины V где р – число вершин.

Если то вершина V называется изолированной, если то – висячей.

Для орграфа число дуг, исходящих из вершины V, называется полустепенью графа, а входящих – полустепенью захода. Обозначение и соответственно. Например, для орграфа на рис. 6.2

Справедлива теорема Эйлера: сумма степеней вершин графа равна удвоенному количеству дуг, т. е.

,

где q – количество дуг.

П уть на графе – последовательность ребер , где любые два соединения являются смежными.

V_{3 1111}

e₃

Путь на графе можно определить как последовательность вершин , где две соседние соединены ребром. Путь замкнут, если . Вершина достижима из вершины , если существует путь из в .

Граф называется связным, если для любой пары вершин существует соединяющий их путь.

Цикл – замкнутый путь, в котором ни одно ребро не повторяется дважды.

Простой цикл – замкнутый путь, ни одна вершина в котором (кроме ) не повторяется дважды.

Гамильтонов цикл – простой цикл, содержащий все вершины графа (рис. 6.3).

Эйлеров цикл – цикл, содержащий все ребра графа (рис. 6.4).

Деревом называется связный граф без циклов (рис. 6.1в).

Два графа и изоморфны, если существует взаимное отображение множества вершин графа на множество вершин графа , сохраняющее смежность (рис. 6.5).