4.2. Решение игр 2 х 2 в смешанных стратегиях графическим способом

Рассмотрим игру с платежной матрицей 2 х 2: . Эта игра не содержит седловой точки: где – максимальный гарантированный выигрыш игрока А при игре один раз; – минимальный гарантированный проигрыш игрока В при игре один раз.

Пусть игра повторяется много раз. Если игрок А каждый раз будет повторять свою максиминнную стратегию , то игроку В выгоднее (меньше проиграет) применять стратегию не являющуюся минимаксной; если же игрок В применяет только свою минимаксную стратегию то игроку А выгоднее (больше выиграет) применять максиминную стратегию Возникает вопрос нахождения оптимального способа действий игроков, если игра без седловой точки повторяется много раз. Причем каждый из игроков должен стремиться к тому, чтобы каждый его ход был неожиданным для противника. Для этого нужно случайным образом чередовать свои стратегии, говорят, применять смешанные стратегии.

При таком подходе задача сводится к следующему: как часто нужно чередовать свои стратегии, чтобы средний выигрыш для игрока А (или средний проигрыш для игрока В) после большого числа игр в расчете на наилучшую игру противника был бы оптимальным.

Схематически эту задачу для игрока А можно записать так:

,

где – частота применения игроком А стратегии ,тогда

(1 – x) – частота применения стратегии ; – средний гарантированный выигрыш игрока А при лучшей игре игрока В.

Для игрока В аналогично:

,

y – ?

где y – частота применения игроком В стратегии , тогда (1–у) – частота применения стратегии ; – средний гарантированный проигрыш игрока В при лучшей игре игрока А.

Решим игру за игрока А. Найдем средний выигрыш игрока А, если игрок В выбирает только стратегию или только , а игрок А применяет смешанную стратегию:

К аждое уравнение задает прямую в плоскости

Построим эти прямые, учитывая, что значения меняются от 0 до 1 (рис. 4.1).

Каждая прямая характеризует средний выигрыш игрока А при соответствующей стратегии игрока В.

Ломаная KLM характеризует гарантированный средний выигрыш игрока А. Максимальный гарантированный выигрыш в точке L – точке пересечения прямых ( ) и ( ).

Решая систему , найдем и

Таким образом, оптимальная смешанная стратегия игрока А:

Решим игру за игрока В. Найдем средний проигрыш игрока В, если игрок А выбирает только стратегию или только , а игрок В применяет смешанную стратегию:

Каждая прямая характеризует средний проигрыш игрока В при соответствующей стратегии игрока А. Ломаная NFP характеризует гарантированный средний проигрыш игрока В. Минимальный гарантированный проигрыш в точке F – точке пересечения прямых и (рис. 4.2).

Следовательно, оптимальная смешанная стратегия игрока В:

В нашем примере

Справедлива следующая основная теорема теории игр: любая игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях, причем максимальный гарантированный средний выигрыш игрока А равен минимальному среднему проигрышу игрока B.

Это общее число называется ценой игры и обозначается V:

Замечание 1. Если игра имеет седловую точку и ее решать в смешанных стратегиях, то в ответе получатся чистая максиминная для игрока А и чистая минимаксная для игрока В стратегии.

В примере п. 4.1:

Замечание 2. Из основной теоремы теории игр следует, что решение за игрока В можно не проводить графически. Достаточно цену игры V, найденную при решении за игрока А, подставить в одно из уравнений игрока В и найти y.