3.2. Метод отсечения Гомори

Сущность методов отсечения состоит в том, что сначала задача решается без учета условия целочисленности. Если полученный оптимальный план целочисленный, то задача целочисленного программирования решена. В противном случае, к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

• оно должно быть линейным;

• должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;

• не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Далее задача решается с учетом нового ограничения до получения нового оптимального плана. Если и новый план окажется нецелочисленным, то вновь накладывают дополнительное ограничение и т. д. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет получено целочисленное оптимальное решение или будет выявлено, что задача неразрешима.

Геометрически добавление каждого нового ограничения отвечает проведению прямой, которая отсекает от области допустимых планов некоторую его часть вместе с оптимальной точкой с нецелыми координатами, но не отсекает ни одной из целочисленных точек этой области. В результате новая область содержит все целочисленные точки, входящие в первоначальную область. Следовательно, полученное в новой области целочисленное решение будет совпадать с искомым целочисленным решением.

Алгоритм решения задачи целочисленного линейного программирования, предложенный американским математиком Гомори, основан на симплекс-методе и использует достаточно простой способ построения нового дополнительного ограничения.

Напомним некоторые понятия, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Целой частью [b] числа b называется наибольшее целое число, не превосходящее числа b (ближайшее целое число, лежащее левее b).

Дробная часть числа b обозначается {b}, она определяется следующим образом: .

Заметим, что , т. к. .

Например ; ; (именно –2, а не –1); ; ; .

Идея метода Гомори решения задачи (3.1)–(3.4) заключается в следующем.

Отбрасывается условие целочисленности (3.4) и симплекс-методом решается задача линейного программирования (3.1–3.3). Если оптимальное решение задачи окажется целочисленным, то оно и является оптимальным решением задачи целочисленного программирования (3.1–3.4). Если решение задачи (3.1–3.3) содержит хотя бы одну дробную координату, то строим новое ограничение следующим образом.

Пусть на последнем шаге решения задачи (3.1–3.3) получена следующая симплекс-таблица (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Общий вид последней симплекс-таблицы

Так как оптимальное решение задачи (3.1–3.3) нецелочисленное, то хотя бы один из свободных членов не является целым числом. В столбце свободных членов выбираем элемент	БП	СП				Свободные члены

с максимальной дробной частью .

Если окажется, что дробное число, а все коэффициенты его строки – целые числа , то задача (3.1–3.4) не имеет целочисленного решения.

Если – и хотя бы одно из чисел – дробные числа, то составляем новое дополнительное ограничение:

.

Вводя дополнительную переменную , сводим новое ограничение к следующему уравнению:

.

Добавляем построенное уравнение к последней симплекс-таблице. Находим в добавленной строке симплекс-таблицы отрицательное число с наименьшим модулем. Считая это число разрешающим элементом, пересчитываем таблицу по алгоритму симплекс-метода (см. п. 1.3.2).

Если задача (3.1–3.4) разрешима в целых числах, то после конечного числа шагов оптимальный целочисленный план будет найден.

Продемонстрируем алгоритм метода Гомори на следующей задаче.

Пример. Для улучшения финансового положения фирма приняла решение об увеличении выпуска конкурентоспособной продукции. С этой целью нужно установить дополнительное оборудование, занимающее м² площади. На приобретение дополнительного оборудования фирма выделила 10 усл. ден. ед. средств, при этом она может купить оборудование двух видов: А и В. Приобретение одного комплекта оборудования вида А стоит 1 усл. ден. ед., для его установки требуется 2 м² площади и это позволяет увеличить выпуск продукции на 2 штуки. Один комплект оборудования вида В стоит 3 уcл. ден. ед., для его установки требует 1 м² площади и это позволяет увеличить выпуск продукции на 4 штуки. Найти такой набор дополнительного оборудования, который дает возможность максимально увеличить выпуск продукции.

Решение. Пусть фирма приобретает комплектов оборудования вида А и комплектов вида В.

Обозначим через – общее увеличение количества выпускаемой продукции. Тогда математическая модель задачи примет вид:

(ограничение по площади),

(ограничение по денежным средствам),

,

– целые.

Приведем модель к каноническому виду (дополнительные переменные ). Отбросим условие целочисленности и решим задачу симплекс-методом. Для удобства укажем последовательность симплекс-таблиц, полученных при решении (табл. 3.2 – 3.4).

Получим нецелочисленное оптимальное решение:

Поиск целочисленного оптимального решения продолжим методом Гомори.

Найдем дробные части свободных членов и :

.

.

Таблица 3.2 Таблица 3.3

Первая таблица Вторая таблица

БП	СП		Свободные члены		БП	СП		Свободные члены
	2	1				5/3	–1/3	3
	1	3	10			1/3	1/3	10/3
	–2	–4	0			–2/3	4/3	40/3

Таблица 3.4

Последняя таблица

БП	СП		Свободные члены
	3/5	–1/5	9/5
	–1/5	2/5	41/15
	2/5	6/5	218/15

Следовательно, дополнительное ограничение строим по первой строке последней симплекс-таблицы: .

Отсюда . После введения дополнительной переменной имеем .

Отсюда и получаем дополнительное ограничение

.

Добавляем новое ограничение к последней симплекс-таблице (табл 3.4) и получаем расширенную симплекс-таблицу (табл. 3.5).

Таблица 3.5

Расширенная таблица

БП	СП		Свободные члены	добавленная строка
	3/5	–1/5	9/5
	–1/5	2/5	41/15
	–3/5	– 4/5	– 4/5
	2/5	6/5	218/15

Находим в добавленной строке отрицательное число с наименьшим модулем. Это число . Считая число разрешающим элементом, симплекс-методом находим оптимальное решение расширенной задачи (табл. 3.6).

Так как табл. 3.6 соответствует оптимальное решение, в котором основные переменные , целочисленны, то искомое целочисленное решение получено, т. е.

и .

Таблица 3.6

Оптимальное целочисленное решение

	БП	СП		Свободные. члены	Таким образом, фирме нужно приобрести один комплект оборудования А, три комплекта оборудования В, при этом все денежные средства будут израсходованы ,
		1	–1	1
		–1/	2/3	3
		–5/3	4/3	4/3
		2/3	2/3	14

останется м² незанятых площадей , а максимальное увеличение выпускаемой продукции составит 14 штук.