2.5. Альтернативный оптимум

Если хотя бы для одной из свободных клеток в оптимальном решении условие оптимальности для свободных клеток выполняется как равенство, т. е. , то сделав перераспределение груза относительно этой клетки, получим новое оптимальное решение , при этом суммарные транспортные расходы не изменятся, т. е. . В этом случае говорят об альтернативном оптимуме. Если перевозки должны быть целочисленными, т. е. перевозится неделимый груз, то следующее целочисленное решение получается из перераспределением груза относительно той свободной клетки, в которой и т. д. Если же перевозки не обязаны быть целочисленными, то любое оптимальное решение может быть найдено по формуле:

,

где . В этом случае задача линейного программирования имеет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим конкретную задачу, имеющую альтернативный оптимум.

Пример 3. На трех складах имеется ткань в количествах 60, 130 и 90 тыс. м, которая должна быть доставлена четырем ателье в количестве 30, 80, 60 и 110 тыс. м соответственно. Составить оптимальный план перевозок, имеющий минимальные транспортные расходы, если стоимости доставки 1 тыс. м ткани с каждого склада в каждое ателье заданы матрицей (усл. ден. ед.) .

Решение. Составим распределительную таблицу. По методу минимального тарифа найдем первоначальный опорный план. Определим потенциалы поставщиков и потребителей (табл. 2.10).

Таблица 2.10

Распределительная таблица

	6	12	3	4	Запасы поставщиков
0	6 20	12>8	15	4 40	60
–1	9	15 2	2 60	3 70	130
0	2 10	12 80	7	10 10	90
Спрос потребителей	30	80	60	110	280 280

Проверяя условие оптимальности для свободных клеток, отмечаем клетку (1, 2), т. к.

.

Таблица 2.11

Первый оптимальный план

	2	8	3	4
0	6	8 20 +	15	4 40 –
–1	9	15	2 –	3 70 +
4	6 30	12 60 –	7=7 +	10

Перераспределим груз относительно клетки (1, 2), построив для неё цикл. Занесем полученное перераспределение грузов в новую таблицу поставок и вычислим потенциалы по занятым клеткам (табл. 2.11).

Для полученного опорного плана выполняется критерий оптимальности, но так как , то задача имеет альтернативный оптимум и мы нашли лишь одно из её оптимальных решении.

,

стоимость транспортных издержек составляет (усл. ден. ед).

Произведем перераспределение грузов относительно клетки (3,3) и получим еще одно оптимальное решение

, при этом усл. ден. ед.

Мы нашли два оптимальных решения и , общее решение находится по формуле , где .

В нашем случае

Таким образом

, где .

Стоимость транспортных расходов составляет 1550 усл. ден. ед. на любом оптимальном решении.