2.3. Проверка найденного опорного плана на оптимальность

Найденный опорный план проверяется на оптимальность методом потенциалов, предложенным в 1949 году Л. В. Канторовичем и М. К. Гавуриным. Этот метод основан на следующем критерии оптимальности: опорный план транспортной задачи оптимален тогда и только тогда, когда ему соответствует система действительных чисел , удовлетворяющих условиям:

для занятых клеток и

для свободных клеток.

Числа называются потенциалами поставщиков, – потенциалами потребителей.

Теоретическое обоснование этого критерия можно найти в учебниках по линейному программированию, например [5]. Мы остановимся лишь на практическом использовании этого критерия.

Потенциалы и находятся из уравнений , справедливых для всех занятых клеток, т. к. количество занятых клеток равно , а потенциалов , то значение одного из потенциалов выбирается произвольно, например, равным нулю. Удобнее всего полагать равным нулю потенциал, которому соответствует наиболее занятый ряд (строка или столбец) в таблице поставок. Остальные потенциалы определяются однозначно: если известен потенциал , то , если известен потенциал , то . После того, как все потенциалы найдены, вычисляются суммы для каждой свободной клетки. Если окажется, что для каждой свободной клетки, то данный план является оптимальным; если хотя бы для одной из свободных клеток , то данный план не оптимален.

Проверим найденный в примере 1 первоначальный опорный план на оптимальность методом потенциалов, добавив в таблицу 2.4 столбец и строку .

Таблица 2.5

Потенциалы первого опорного плана

	4	2	2	3	Положим , т. к. наиболее занятый ряд соответствует поставщику . Рассмотрим занятые клетки второй строки и составим для каждой из них поочередно уравнения вида , из которых, учитывая, что , найдем
-1	5	4	1 20	2 40
0	4 5	2 25	5	3 10
3	7 35	5>3	5	6>4

потенциалы , , . Действительно: для занятой клетки (2,1) выполняется условие , откуда ; для занятой клетки (2,2) , отсюда ; для занятой клетки (2, 4) , откуда .

Далее надо рассматривать ту из занятых клеток таблицы поставок, для которой один из потенциалов уже известен. Рассмотрим занятую клетку (3, 1): , т. к. , то .

Для клетки (1,4) составляем уравнение и учитывая, что , находим .

Для клетки (1,3): . Найденные значения потенциалов заносим в таблицу 2.5.

Вычисления потенциалов обычно проводятся устно, при этом используются только стоимости перевозок , стоящие в правых верхних углах таблицы поставок. Сами перевозки , стоящие в занятых клетках роли не играют, они лишь определяют занятость клеток.

Теперь нужно проверить выполнение условия оптимальности для каждой из свободных клеток:

для клетки (1, 1);

для клетки (1, 2);

для клетки (2, 3);

для клетки (3, 2);

для клетки (3, 3);

для клетки (3, 4).

Условие оптимальности нарушено в клетках (3, 2) и (3, 4), следовательно, первоначальный опорный план не является оптимальным и его можно улучшить.