1.5. Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под задачей оптимизации?

2. Что такое целевая функция?

3. Что такое система ограничений?

4. Поясните термин «задача линейного программирования».

5. Назовите отличительные особенности канонической задачи линейного программирования.

6. Перечислите основные методы решения задач линейного программирования.

7. В чем достоинства и недостатки графического метода решения задач линейного программирования?

8. Что понимается под «точкой входа» и «точкой выхода» области допустимых планов?

9. Сформулируйте основную идею симплекс-метода.

10. Какие переменные называют свободными, а какие базисными?

11. Что такое базисное решение и что такое опорный план?

12. Сформулируйте основную теорему линейного программирования.

13. Назовите основные этапы алгоритма симплекс-метода.

14. Для каждой ли задачи линейного программирования существует двойственная? Поясните смысл двойственности.

15. Сформулируйте две основные теоремы двойственности.

16. Какая связь существует между переменными исходной и двойственной задач?

17. Каков экономический смысл основных и дополнительных переменных в задаче об оптимальном использовании ресурсов, и какой экономический смысл основных переменных в двойственной задаче?

18. Как изменится значение целевой функции в задаче об оптимальном использовании ресурсов, если запас i-го ресурса увеличить на одну единицу?

2. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

2.1. Постановка задачи

В общем виде транспортную задачу можно представить следующим образом: пусть имеется m поставщиков однородного груза , запасы которых составляют соответственно . Этот груз должны получить n потребителей в количествах соответственно. Стоимость перевозки одной единицы груза (тариф) от поставщика к потребителю равна , где .

Требуется составить план перевозок, т. е. найти объемы перевозок для каждой пары «поставщик–потребитель» так, чтобы суммарные затраты на перевозку были бы минимальными при максимально возможном объеме суммарных перевозок.

Таблица 2.1

Таблица поставок

					Запасы поставщиков
Спрос потребителей

Обозначим через количество груза, которое будет перевезено от поставщика к потребителю , здесь . Очевидно, что объем перевозимого груза не может быть отрицательным, т. е. .

Составим таблицу поставок, в которую внесем условия задачи и переменные (табл. 2.1).

Нужно минимизировать целевую функцию S, определяющую суммарные транспортные затраты

.

В зависимости от соотношения между суммарными запасами груза и суммарными потребностями в нем транспортные задачи могут быть закрытыми или открытыми (сбалансированными или несбалансированными).

Если суммарные запасы равны суммарным потребностям, т. е. то такая транспортная задача, называется закрытой.

В противном случае транспортная задача называется открытой.

Остановимся вначале на закрытой модели транспортной задачи. В условиях этой задачи запасы каждого из поставщиков должны быть полностью исчерпаны, поэтому составляем уравнения баланса по каждой строке таблицы поставок. Аналогично, чтобы спрос каждого из потребителей был удовлетворен, подобные уравнения баланса составляем по каждому столбцу таблицы поставок:

Мы получим каноническую форму задачи линейного программирования, которая может быть решена симплекс-методом. Однако большое количество переменных и ограничений делает вычисления громоздкими.

Однако система ограничений закрытой модели транспортной задачи имеет особенности:

• все переменные входят в ограничения системы с коэффициентом равным единице;

• каждая переменная входит в систему ограничений ровно два раза (один раз – в балансе по строке, один раз – в балансе по столбцу).

Известно, что эта система имеет независимых (базисных) переменных, т. к. ввиду условия одно из уравнений системы ограничений является следствием других [5, с. 126]. Таким образом, опорный план транспортной задачи будет содержать базисных переменных, удовлетворяющих условию неотрицательности. Значения этих переменных будем вносить в таблицу поставок, а соответствующие клетки таблицы будем называть занятыми клетками; остальные переменные – свободные, т. е. равны нулю, в дальнейшем их значения в таблицу поставок вносить не будем, а соответствующие клетки таблицы будем называть свободными клетками. Для решения транспортной задачи разработан специальный вариант симплекс – метода, называемый методом потенциалов, имеющий те же этапы:

• нахождение исходного опорного плана;

• проверка плана на оптимальность;

• переход от одного опорного плана к другому, который улучшает значение целевой функции.