1.4.4. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов

Рассмотрим задачу об оптимальном использовании ресурсов (см. п. 1.1.2, задача 3) с исходными данными, указанными в табл. 1.4.3.

Таблица 1.4.3

Задача о ресурсах

Виды ресурсов	Виды продукции				Запасы ресурсов
	5	0,4	2	0,5	400
	0	5	1	1	300
	1	0	1	1	100
Прибыль	3	5	4	5

Составим экономико-математическую модель этой задачи и двойственную к ней. Опуская процесс решения, укажем оптимальные планы с учетом значений дополнительных переменных.

Исходная задача имеет конкретный экономический смысл: основные переменные обозначают количество произведенной продукции i-го вида, дополнительные переменные обозначают количество излишков соответствующего вида ресурсов, каждое из неравенств выражает расход определенного вида сырья в сравнении с запасом этого сырья. Целевая функция определяет прибыль от реализации всей продукции.

Предположим теперь, что предприятие имеет возможность реализовывать сырье на сторону. Какую минимальную цену надо установить за единицу каждого вида сырья при условии, что доход от реализации всех его запасов должен быть не меньше дохода от реализации продукции, которая может быть выпущена из этого сырья.

Исходная задача

.

Двойственная задача

.

Переменные будут обозначать условную предполагаемую цену за ресурс соответственно. Тогда доход от продажи сырья, расходуемого на производство одной единицы продукции равен ; т. к. цена продукции равна 3 ед., то , в силу того, что интересы предприятия требуют, чтобы доход от продажи сырья был не меньше, чем от реализации продукции. Именно в силу такого экономического толкования, система ограничений двойственной задачи принимает вид:

А целевая функция подсчитывает условную суммарную стоимость всего имеющегося сырья. В силу 1-ой теоремы двойственности . Это равенство означает, что максимальная прибыль от продажи всей готовой продукции совпадает с минимальной условной ценой всех ресурсов, в этом состоит экономический смысл первой теоремы двойственности. Условные оптимальные цены показывают наименьшую стоимость ресурсов, при которой выгодно обращать эти ресурсы в продукцию, производить.

Еще раз обратим внимание на то, что это лишь условные, предполагаемые, а не реальные цены на сырье. Иначе, может показаться странным, что например, . Этот факт вовсе не означает, что реальная цена 1-го ресурса нулевая. Равенство нулю условной цены означает лишь то, что этот ресурс не израсходован полностью, имеется в излишке, недефицитен.

Действительно, посмотрим на 1-ое неравенство в системе ограничений исходной задачи, в котором подсчитывается расход ресурса:

. Его избыток составляет ед. при данном оптимальном плане производства. Ресурс имеется в избытке и поэтому для производителя он недефицитен, его условная цена равна нулю, его не надо закупать. Наоборот, ресурс и используется полностью, причем , а , т. е. сырье третьего вида более дефицитно, чем второго, его условная цена больше. Если производитель продукции имел бы возможность приобретать дополнительно сырье к уже имеющемуся, с целью получения максимального дохода от производства, то увеличив сырье на 1 единицу, он бы получил дополнительно доход в денежных единиц, а увеличение на 1 единицу сырья .значение целевой функции увеличилось бы еще на единицы.

Если перед производителем стоит вопрос, «выгодно ли производить новую продукцию , при условии, что затраты на 1 единицу этой продукции, составят 3, 1, 4 единиц сырье и соответственно, а прибыль от реализации равна 23 единицам?», то в силу экономического истолкования задачи, ответить на этот вопрос несложно. Поскольку затраты и условные цены ресурсов известны. Затраты равны 3, 1, 4, а цены , , . Значит можно посчитать суммарную условную стоимость ресурсов, необходимых для производства одной единицы этой новой продукции: . Значит продукцию производить выгодно, т. к. прибыль от реализации превышает затраты на ресурсы, в противном случае, ответ на этот вопрос был бы отрицательным.

В первом разделе мы рассмотрели лишь наиболее распространенные методы решения задач линейного программирования и сформулировали только две основные теоремы двойственности. Более подробное изложение и обоснование этих и других методов решения задач линейного программирования, а также теории двойственности можно найти в литературе, список которой приведен в конце этого пособия.

В разделе 8 мы еще раз вернемся к этой теме, но будем говорить о решении задач линейного программирования на компьютере.