2)Параметрические критерии для проверки гипотезы о равенстве двух неизвестных средних.

Необходимость сравнения средних значений возникает при решении самых разнообразных геологических задач, практически во всех разде­лах геологии. Это наиболее распространенная в геологии задача, так как утвер­ждение о сходстве или различии геологических объектов и явлений основывается на утверждении о равенстве или неравенстве неизвестных средних значений их свойств.

В данном случае наиболее часто применяют параметрический кри­терий Стъюдента (Вэлча):

t = (34)

Если t > t_q , _{n1 + n2 - 2}, взятого из таблицы распределения Стъю­дента, то гипотеза о равенстве неизвестных средних отвергается. Указанный критерий применим только в случае, если δ²₁ δ²₂ . Если же выяснится, что δ²₁ = δ²₂ (проверку этой гипотезы см. ниже), то следу­ет применить следующий критерий:

t= (35)

где S = .

Критическое значение t_q , _{n1 + n2 -2} при этом также берется из таб­лицы распределения Стыодента.

Если распределение случайной величины логнормальное, то следует использовать критерий Д. А. Родионова (при δ²₁ δ²₂ )

t = (36)

где S²₁ и S²₂ - дисперсии распределения логарифмов значений. Крити­ческое значение t_q находится по таблице функции нормального рас­пределения F ( t ). Принятие или отклонение гипотезы Н₀, осуществля­ется так же, как было описано при рассмотрении формулы (32).

Если выясняется, что δ²₁ = δ²₂ , то можно использовать критерий Стьюдента, заменив в формуле (35) и , на ln , и ln .

Билет №7

1) Проверка гипотез о равенстве неизвестных дисперсий.

а) Проверка гипотез о равенстве двух дисперсий.

Дисперсия является мерой рассеяния результатов наблюдений, по­этому может быть использована для описания изменчивости свойств гео­логических объектов. Поскольку применение обычного в геологии мето­да аналогии невозможно без сравнения степени изменчивости рассмат­риваемых объектов, то ясно, что сравнение дисперсий - задача обыч­ная при геологических исследованиях. Кроме того, как мы видим выше, проверка гипотез о равенстве дисперсий необходима для выбора кри­терия при проверке гипотезы о равенстве средних.

Итак, нам требуется проверить гипотезу Н₀ : δ²₁ = δ²₂ при аль­тернативе Н₁ : δ²₁ δ²₂. Если распределение не противоречит нормаль­ному, в этом случае обычно пользуются критерием Фишера:

F = . (40)

В числитель при этом записывается большая дисперсия. Крити­ческое значение F берется из таблиц распределения Фишера, которые имеются во всех руководствах по математической статистике. Выбрав таблицу для соответствующей доверительной вероятности 1-q, по горизонтали находим столбец со значением n₁ -1 по вертикали - строку со значением n₂-1. На их пересечении будет искомое крити­ческое значение F _1-q , п₁ - 1 , n₂ - 1 . Здесь n₁ - количество членов в выборке с большей дисперсией.

Если вычисленное значение F превысит табличное, гипотеза о равенстве дисперсий отвергается.

В условиях логнормального распределения критерий Фишера при­меняется для проверки гипотезы о равенстве дисперсий логарифмов значений.

Если закон распределения не соответствует нормальному (логнормальному), можно воспользоваться ранговым критерием Сиджела-Тьюки (17), который является почти полным аналогом критерия Вилкоксона.

б) Проверка гипотезы о равенстве более, чем двух дисперсий

Критерий для проверки этой гипотезы был предложен в 1937 го­ду Бартлетом и носит его имя. Бартлет показал, что, если Н₀ : δ²₁ = δ²₂ = . . . = δ²_k = δ²₀ верна, то величина

В = (41),

будет распределена как χ² с (k - 1) степенями свободы. Здесь:

с = 1+

S² =

Если вычисленное значение В окажется больше табличного χ²_q,k-1, то гипотеза о равенстве дисперсий отвергается. Многомерным аналогом критерия Бартлета является критерий Кулъбака(17).