Билет №2

1. Некоторые теоретические законы распределения: нормальный, логнормальный, биномиальный, Пуассона.

Нормальным называется закон, для которого интегральная функция распределения имеет вид:

F(x) = . (12)

Функция плотности вероятности, соответственно, описывается выражением:

f(x) = . (13)

Графическое ее выражение приведено на рис.8.

Функция распределения достигает максимума в точке х= М(х). Допустим, что М( х ) = а. Если вместо случайной величины рассмот­реть новую случайную величину

t = , (14)

то новая величина t будет также распределена нормально со средним значением, равным нулю и дисперсией, равной 1:

σ_t ² = ²= ²= ( )² = = = 1.

Плотность вероятности величины t имеет вид:

f(t) = . (15)

Э

то уравнение иногда называют уравнением Гаусса, а соответствующую кривую - кривой Гаусса. Преобразованное таким образом распределение называется нормированным или стандарт­ным нормальным распределением.

Рис. 8. График функции плотности вероятности

нормального распределения

Переход от нормального к стандартному нормальному распределению заключается в переносе центра распределения в начало координат с выражением случайной ве­личины в долях ее стандарта. Необходимость такого преобразования заключается в том, что вычисление вероятностей по формуле (12) представляет собой очень трудоемкую операцию, а составить таблицы для всех возможных значений случайной величины не представляется возможным. Такие таблицы составлены для нормированной (безразмер­ной) величины t , для которой, как мы увидим ниже, вполне достаточ­но иметь таблицу значений F( t ) в интервале -3 t 3.

Переход от реальных значений случайной величины к нормирован­ным по формуле (14) не представляет никаких трудностей.

В справочниках приводятся таблицы для f(t), F(t) и Ф(t):

F(t) = , (16)

Ф(t) = , (17)

f(t) = .

Интеграл (16) определяет вероятность попадания случайной ве­личины в интервал от - до t, а интеграл (17) от - t до + t. Чтобы определить вероятность попадания случайной величины в интер­вал от А до В, необходимо вначале нормировать границы интервала:

t₁ = , t₂ = , а затем найти соответствующие значе­ния F(t) в таблице и вычислить искомую вероятность:

Р= F(t₂) - F(t₁).

Рис. 9. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

F(В) = Р( х < В );

F(А) = Р( х < А);

Р( А x < В)=F(В)-F(А).

Если А и В расположены симметрично относительно М_х , то задача уп­рощается: находим t= t₁ = t₂ и определяем по таблице Ф (t ) искомую вероятность: Р = Ф(t).

В тесной связи с нормальным находится логарифми­чески нормальный (логнормальный) закон распределе­ния, очень широко применяемый в геологии. Установлено, что этим законом удовлетворительно описывается распределение ряда химичес­ких элементов в породах, распределение содержаний золота в россы­пях, распределение диаметра частиц при дроблении и т.д. При логнормальном распределении нормальному закону подчинены не сами значения случайной величины, а их логарифмы. Поэтому вначале находят нату­ральные (или десятичные) логарифмы всех значений случайной величи­ны, а затем все операции проводят с логарифмами, как с обычными числами: вычисляют их статистические характеристики и по таблицам нормального распределения определяют вероятности. В случае, если в исходной совокупности встречаются нулевые значения, их заменяют минимальными или половиной чувствительности анализа, поскольку ло­гарифмировать нулевые значения нельзя.

Кривая плотности вероятности логнормального распределения, построенная не по логарифмам, а по исходным значениям, является асимметричной и описывается следующим выражением:

f(x) = · , (18)

где М_{ln x} и σ_ln математическое ожидание и стандарт логарифмов значений.