Билет №14

1)Понятие вероятности случайного события. Случайная величина и ее характеристики.

Под событием понимается любой факт, который может реализоваться в результате опыта или испытания. Под опытом или испытанием, в свою очередь, понимается осуществление определенного комплекса условий, причем, не обязательно с участием человека. Классическим примером испытания является подбрасывание вверх монеты, а выпадение герба или цифры, соответственно, явля­ется событием. Примером испытания, проходящего без участия челове­ка, можно считать извержение вулкана. Случайные события характеризуются тем, что они могут произойти в данном испытании, а могут и не произойти. Если испыта­ние повторяется многократно, то в одних случаях эти события про­изойдут, а в других нет. В каких именно случаях события реализуют­ся, мы заранее предсказать не можем, поэтому такие события и на­зываются случайными.

Итак, случайной называется величина, принимающая в результате испытания то или иное, заранее неизвестное, значение.

Случайные величины бывают дискретными (прерывисты­ми) и непрерывными. При этом значения, которые они принимают, могут ограничиваться какими-либо пределами, а могут и не ограничиваться.

Дискретная величина может принимать только какие-то фиксирован­ные значения и, если задан интервал, то число этих значений конеч­но. Например, дискретной величиной является число знаков золота в шлиховой пробе, число буровых скважин на участке и т.д. Непрерыв­ная случайная величина может принимать бесконечное множество значе­ний в любом заданном интервале. Например содер­жание меди в пробах колеблется от 0,1 до 5,0%. Внутри этого интер­вала величина содержания меди теоретически может принимать беско­нечное множество значений, поэтому является величиной непрерывной.

Случайная величина характеризуется тем, что может принимать множество различных значений, однако все эти значения имеют разную возможность проявления. Допустим, в ящике лежит 100 образцов, 90 из которых содержит пирит, 9 - халькопирит и 1 - галенит. Если мы возьмем наугад один образец, то, скорее всего, он будет с пиритом. Возможность вынуть образец с халькопиритом будет значительно ниже, а с галенитом - и вовсе ничтожна. В качестве количественной меры возможности появления случайного события используется величина, называемая вероятностью.

Вероятность события А - это число, которое харак­теризует степень объективной возможности появления этого события. Оно обозначается Р(А) или просто р, т.е. р=Р(А).

Существует несколько определений вероятности, из которых мы рассмотрим два: классическое и статистическое. Классическое опре­деление гласит, что вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих событию А, к общему числу случаев. В рассмотренном выше примере вероятность того, что первый, наугад вынутый образец, окажется с халькопиритом равна:

Р(А) = = 0,09

На практике классическое определение зачастую неприменимо, так как общее число случаев обычно неизвестно или бесконечно. Кроме того, далеко не всегда можно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместимых событий.

Между тем, давно было замечено, что частота появления событий при многократном повторении опыта имеет тенденцию стабилизации око­ло какой-то постоянной величины. Это свидетельствует о том, что данные события тоже обладают определенной степенью возможности по­явления в опыте, меру которой можно представить в виде относитель­ной частоты или частости.

Частость (относительная частота) - это отношение числа опытов, благоприятствовавших событию А, к общему числу произведен­ных испытаний. Швейцарским ученым Яковом Бернулли доказано, что при большом числе испытаний частость стремится воспроизвести вероят­ность и в пределе совпадает с ней. Следовательно, вероятность Р(А) -это относительная частота появления события В в n произведенных испытаниях (статистическое определение вероятности):

Р(А)= .

Чем больше число n, тем вероятность, определенная по этой формуле, ближе к ее истинному значению. Поэтому на практике всегда надо стремиться к тому, чтобы выборка была достаточно представительной.

Как видно из определений, Р(А) изменяется в пределах от 0 до 1. Вероятность достоверного события равна 1, невозможного - 0.