2)Критерий оценки значимости нелинейной корреляционной связи

Если корреляционная связь имеет нелинейный характер, в этой ситуации необходимо вы­числение корреляционного отношения (η). Корреляционное отношение показывает, какую долю от общей дисперсии составляет дисперсия, учтенная уравнением регрессии (закономерная составляющая дисперсии):

= ; (52) = . (53)

Незакономерная, случайная составляющая дисперсии характеризует разброс значений вокруг линии регрессии. Таким образом:

S²_у =S² + S²_случ.

Отсюда ясно, что, чем меньше случайная составляющая, т. е., чем мень­ше разброс значений от линии регрессии, тем выше значение корреляци­онного отношения. Закономерная составляющая дисперсии рассчитывается по формулам:

S = ; (54)

S = . (55)

Выборочные данные при этом разбиваются на группы, для каждой из ко­торых подсчитываются (или ). В формуле (54) N - общее число наблюдений, т - число групп, n_i - число наблюдений в i группе. Для расчета S_х и S_у следует воспользоваться формулой (23).

Значения η изменяются от 0 (связь отсутствует) до 1 (связь функциональная). В случае линейного характера взаимосвязи:

= . (56)

Таким образом, коэффициент корреляции можно рассматривать как частный случай корреляционного отношения. Закономерная составляющая дисперсии в этом случае связана с коэффициентом корреляции соотноше­нием:

S² = S² _у · r²

Значимость отличия η от нуля проверяется по критерию:

Θ_у = . (57)

Условные обозначения те жe, что в формуле (54). Если η = 0, то Θ_у распределена по нормальному закону с параметрами (0,1). Следо­вательно, если вычисленное значение Θ_y превысит 3 (при доверительной вероятности 0,99) или 2 (при доверительной вероятности 0,95), счита­ем, что корреляционная связь существует.

Поскольку уравнения линейной регрессии являются наиболее прос­тыми, на практике всегда необходимо выяснять причины нелинейности взаимосвязи величин и, по возможности, устранять их.

Билет №10

1)Биномиальный закон распределения случайной величины.

Биноминальный закон распределения используется в тех случаях, когда в результате одного испытания событие А может либо появиться с вероятностью p, либо не появиться с вероятностью q = 1-p. Подобная схема испытания называется схемой Я.Бернулли. Этим ученым был найден закон биномиального распределения, соглас­но которому вероятность того, что событие А произойдет в п испыта­ниях ровно х раз равна:

Р_n(х) =С^х_n·Р^х·q^n-x = · p^x· (1-p)^n-x . (19)

Здесь n и р являются параметрами биноминального распределения.

Основные характеристики биноминального распределения опреде­ляются следующими выражениями:

М_х = np ; σ² = np( 1 - p ) ;

А = ; Е = .

Биноминальным законом описывается только распределение дискретных величин. Коэффициенты С_n^х при х = 1,2,3... образуют ряд коэффициентов разложения бинома Ньютона, почему распределение и называется биноминальным. Эти коэффициенты можно найти по специаль­ным таблицам (1), или по треугольнику Паскаля (если х 12).

В тех случаях, когда n и х очень большие числа, вычисление ве­роятности по формуле (19) представляет значительные трудности. В этом случае рекомендуется применение приближенной формулы Муавра-Лапласа:

р_n(х) · f(t), (20)

здесь f ( t ) - функция плотности вероятности стандартного нор­мального распределения,

t = = .

Значения f(t) берутся из табл.2.

При n биноминальное распределение стремится к нормальному, но, если при этом р или q стремится к нулю, то случайная величина начинает подчиняться распределению Пуассона.