3. «Ручной расчет» трех итераций методом Ньютона

Для применения метода Ньютона необходимо выбрать начальное приближение к корню. Для нашего уравнения 1- 3х + cos(x) = 0, известно, что , а . Выберем за начальное приближение к корню тот конец отрезка, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной: .

Для выполнения итераций по методу Ньютона воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

Получим рекуррентную формулу для выполнения трех итераций

Результаты вычислений представим в виде таблицы, структура которой аналогична табл. 6.2-2.

k	Xk	f(xk)
0	1	-1.4597
1	0.6200	-4.62•10-2
2	0.6071	-6. 7875 •10-5
3	0.6071	-6.7875 •10-5

Оценим погрешность результата, полученного методом Ньютона после трех итераций, с использованием формулы 6.2.3-11 в [2], где а

4. «Ручной расчет» трех итераций методом хорд

Для применения метода хорд необходимо произвести выбор неподвижной точки, поскольку от этого зависит вид рекуррентной формулы. Неподвижен тот конец отрезка [a;b] , для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х₀.

Рекуррентная формула метода хорд имеет вид [2]:

где - неподвижная точка.

Поскольку для функции f(x)=1–3x+cosx <0, то на отрезке [0;1] неподвижной точкой является точка x=b=1, так как f(1)>0. Тогда за начальное приближение к корню положим x₀=a=0, и проведем три итерации по приближению к корню с использованием следующей рекуррентной формулы:

Результаты вычислений представим в виде таблицы, структура которой аналогична табл. 6.2-2.

n	Xn	f(xn)
0	0	2
1	0.5781	0.1032549
2	0.6059	4.080772 •10-3
3	0.6070	1.590771•10-4

Погрешность результата, полученного после трех итераций, проведенных по методу хорд, оценим по формуле 6.2-3-15 в [2], где :

4. Уточним отделенный корень уравнения «расчетом средствами MathCad» с использованием функции root.

Тема 6.3. Лабораторная работа Интерполяция функций

1. Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи интерполяции, основные понятия: узлы интерполяции, интерполирующая и интерполируемая функции.

2. Условие единственности решения задачи интерполяции.

3. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона, области их применения.

4. Конечные разности, их назначение и использование.

5. Правило выбора начальных узлов интерполяции для формул Ньютона.

6. Практическое правило определение степени интерполяционного многочлена.

7. Способы задания функции в MathCAD: аналитический, табличный, матричный.

8. Средство линейной интерполяции – функция linterp.

9. Средство кубической сплайн-интерполяции – функция interp.

10. Алгоритм интерполяции по методу Лагранжа.