4. Пример выполнения задания

1. Задание для вычисления точки минимума:

• Функция .

2. Проверим существование минимума функции .

Проверим, что функция является выпуклой на множестве R.

Матрица Гессе для функции имеет следующий вид:

.

Угловые миноры равны:

.

Таким образом, функция - выпуклая на множестве R.

3. Найдем координаты точки минимума аналитическим методом.

Необходимые условия существования точки экстремума следующие:

откуда .

4. Выберем начальную точку для решения задачи оптимизации методом наискорейшего спуска

.

5. Решим задачу оптимизации аналитическим методом наискорейшего спуска.

Запишем рекуррентные формулы для получения значений координат очередной точки спуска:

где;

Построим функцию

,

Из условия определим параметр :

, k=0, 1,…

Используя рекуррентные формулы, выполним 3 итерации, а результаты вычислений сведем в таблицу:

xmin=0.1284, ymin=-0.0285, f(xmin,ymin)=26.0189.

6. Вычислим погрешности после трех итераций

7. Решение задачи оптимизации «расчетом средствами MathCad» с помощью функций Minimize и Мinerr:

• использование функции Minimize

• использование функции Мinerr

8. Трехмерный график функции f(x,y)

9. График линий уровня функции f(x,y)

10. Траектория спуска, на основании данных ручного расчета.

Тема 6.8. Лабораторная работа «Аппроксимация функций»

1. Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи аппроксимации.

2. Основные понятия: базисные функции, матрица Грама, система нормальных уравнений, критерий аппроксимации.

3. Метод наименьших квадратов.

4. «Расчет средствами MathCad» линейной и квадратичной аппроксимации с использованием функции linfit.

2. Задание

1. Выбрать индивидуальное задание:

• номера узлов (x_i, где i = 0, 1, …5) (табл. 6.8-1);

• значения функции в заданных узлах (табл. 6.8-2) обозначим a = x₀ и b = х₅.

2. Провести «ручной расчет» коэффициентов линейной аппроксимирующей функции по методу наименьших квадратов и получить его аналитическое выражение.

Выполнить «расчет средствами MathCad» для получения аналитических выражений линейной и квадратичной аппроксимирующих функций, используя 6 точек таблицы исходной функции, построить графики точной и аппроксимирующих функций.

3. Получить таблицу значений аргумента и трех функций (точной и 2-х аппроксимирующих) на отрезке [a,b] (где ) и оценить погрешности линейной и квадратичной аппроксимации (невязки).