1.6. Многомерные замкнутые линейные системы автоматического регулирования

Анализ многомерных систем управления с обратными связями проводится на основе аппарата перехода от временного представления линейных многомерных систем с постоянными коэффициентами к их частотному представлению и обратно.

Структурная схема многомерной замкнутой линейной системы регулирования изображена на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Структурная схема многомерной САР

1.7. Нелинейные системы управления

Для описания поведения нелинейных систем используются общие теоремы динамики или уравнения Лагранжа второго рода. После преобразования этих дифференциальных уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных обобщенных координат и обобщенных скоростей, получим уравнение движения системы управления:

(1.5)

где y_i(t) - выходные сигналы, g_i(t) - входные сигналы САУ, t₀ – момент начала движения, у_i0 - начальные значения выходных сигналов.

Применение рассмотренных выше методов исследования линейных САУ для нелинейных систем общего вида невозможно. Однако среди нелинейных систем выделяют класс систем управления с одним нелинейным элементом, для которых разработанный аппарат применим с незначительными изменениями.

Широкое применение на практике получили нелинейные элементы с негладкой статической характеристикой (релейные, с зоной нечувствительности, с петлей гистерезиса и др.).

Наличие нелинейного звена придает системе управления свойства, присущие только нелинейным системам (например, автоколебания, "скользящее движение").

С другой стороны, поскольку нелинейный элемент один, то для упрощения анализа той или иной особенности поведения системы его можно заменить тем или иным эквивалентным линейным звеном. При этом используются различные методы линеаризации (в частности, методы гармонической и статистической линеаризации, метод В. М. Попова). Они рассматриваются в курсе теории автоматического регулирования и управления.

Для исследования свободного движения автономных систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка.

(1.6)

где - кусочно-непрерывная функция, применяется метод фазовой плоскости.

Уравнение (11.63) переписывается в виде системы двух уравнений первого порядка:

(1.7)

Далее исключается время путем деления второго уравнения на первое. В результате получаем уравнение фазовых траекторий системы:

(1.8)

Решение уравнения v = v(y) называется фазовой траекторией, производная dv/dy фазовой скоростью.

Графики фазовых траекторий строятся на фазовой плоскости в координатах у и v =dy/dt. Изменению положения системы (1.7) с течением времени соответствует движение изображающей точки [y(t), v(t)] по фазовой траектории. Тем самым анализ свободного движения сводится к построению фазовых траекторий системы (1.8), которые показывают ее поведение на фазовой плоскости.

Если в системе присутствуют нелинейные элементы, имеющие релейный характер (или элементы с зоной нечувствительности, с зоной неоднозначности), то фазовую плоскость разбивают на области, и для каждой области записывают соответствующее уравнение фазовых траекторий. Затем строят фазовую траекторию в области, содержащей начальную точку (y₀, v₀). Если фазовая траектория, исходящая из точки (y₀, v₀) , достигает границы, отделяющей начальную область от соседней, то следует найти координаты (у, v) точки ее пересечения с границей. Эти координаты используются в качестве начальных условий для решения уравнения фазовых траекторий, соответствующего соседней области. Отметим, что на границе областей фазовая траектория непрерывна, а фазовая скорость dv/dy— может терпеть разрыв. Построение фазовых траекторий, и в особенности фазовых портретов систем автоматического регулирования, рассматривается в курсе теории автоматического регулирования и управления.