Средняя арифметическая взвешенная
Если в исходных данных отдельные значения усредняемого признака повторятся, то расчет средней проводится по сгруппированным данным или вариационным рядам. В подобных случаях для расчета необходимо применять среднюю арифметическую взвешенную – среднюю сгруппированных величин.
где
-
частость, т. е. удельный вес статистических
единиц, обладающих определенным значением
признака в общем объеме совокупности.
Пример: рассчитать среднюю продажную цену товара по данным, приведенным в таблице 5.1:
Таблица 5.1 - Объём продаж и цена товара А в магазинах города
Магазины |
Продажная цена единицы товара, руб. |
Объем продаж, шт. |
Космос |
20 |
25000 |
Ариадна |
18 |
40000 |
Вега |
19 |
40000 |
Итого |
? |
105000 |
Использовать среднюю арифметическую простую в данном случае нельзя, так как в разных магазинах продано разное количество товара А. Для расчёта средней продажной цены товара А. следует применить среднюю арифметическую взвешенную:
При применении средней арифметической простой средняя продажная цена товара составляла бы: х = (20 + 18 + 19) / 3 = 19 руб. , т.е. оказалась бы завышенной.
Определение средней арифметической взвешенной по интервальному ряду
Сначала находят центры (середины) интервалов, а затем их умножают на веса, произведения суммируют и делят на сумму весов.
Пример. Требуется определить среднемесячную заработную плату одного рабочего по следующим данным (табл. 5.2)
Таблица 5.2 – Исходные данные:
Исходные данные: |
Расчетные данные: |
||
месячная зарплата, руб. |
Число рабочих, чел. |
Середины интервалов |
- |
xi |
fi |
|
|
4000-5000 |
10 |
4500 |
45000 |
5000-6000 |
20 |
5500 |
110000 |
6000-7000 |
48 |
6500 |
312000 |
7000-8000 |
60 |
7500 |
450000 |
8000-9000 |
42 |
8500 |
357000 |
9000-10000 |
20 |
9500 |
190000 |
Итого |
200 |
- |
1464000 |
Средняя арифметическая обладает рядом полезных свойств, к важнейшим из которых относятся:
1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой величине:
=
А при А=const;
2 . Алгебраическая сумма отклонений вариант от их средней арифметической равна нулю:
3. Если все варианты уменьшить (увеличить) на постоянное число А, то средняя арифметическая из них уменьшится (увеличится) на это же число:
4. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз:
5.
Если все веса средней одинаково увеличить
(уменьшить) в несколько раз, то средняя
арифметическая не изменится.
