1). Тригонометрична підстановка

Інтеграл вигляду підстановкою або зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sin t або cos t.

Приклад.

Інтеграл вигляду підстановкою або зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sin t і cos t.

Приклад:

Інтеграл вигляду підстановкою або зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sin t або cos t.

Приклад.

2. Підстановки Ейлера

1. Якщо а > 0, то інтеграл вигляду раціоналізується підстановкою .

2. Якщо а < 0 і с > 0, то інтеграл вигляду раціоналізується підстановкою .

3. Якщо а < 0, а підкорінний вираз розкладається на дійсні множники a (x – x₁)(x – x₂), те інтеграл вигляду раціоналізується підстановкою .

Відзначимо, що підстановки Ейлера незручні для практичного використання, оскільки навіть при нескладних підінтегральних функціях наводять до вельми громіздких обчислень.

3. Метод невизначених коефіцієнтів.

Розглянемо інтеграли наступних трьох типів:

де P(x) – многочлен, n – натуральне число.

Причому інтеграли II і III типів можуть бути легко приведені до вигляду інтеграла I типа.

Інтеграли типа I можна обчислювати, користуючись формулою

,

де Q(x) - деякий многочлен, степінь якого нижча за степінь многочлена P(x), а ( - деяка постійна величина.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів многочлена Q(x), степінь якого нижча за степінь многочлена P(x), диференціюємо обоє частини даного виразу, потім умножають на і, порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, визначають λ і коефіцієнти многочлена Q(x).

Даний метод вигідно застосовувати, якщо степінь многочлена Р(х) більше одиниці. Інакше можна успішно використовувати методи інтегрування раціональних дробів, які розглянуті вище, оскільки лінійна функція є похідною підкорінного виразу.

Приклад.

.

Диференціюємо цей вираз, потім помножимо на і згрупуємо коефіцієнти при однакових степенях х.

=

=

=

.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях х

Таким чином,

=

=

Приклад.

Приклад.

, . Звідки

Отже

.

Інтегрування диференціальних біномів

Інтеграли типа називаються інтегралами від диференціального бінома, де а,b – дійсні числа; m, n, і p – раціональні числа.

Як було доведено Чебишевим П.А., інтеграл від диференціального бінома може бути виражений через елементарні функції лише в наступних трьох випадках:

1. Якщо р – ціле число, то інтеграл раціоналізується за допомогою підстановки , де λ - спільний знаменник m і n.

2. Якщо - ціле число, то інтеграл раціоналізується підстановкою

, де s – знаменник числа р.

3) Якщо - ціле число, то використовується підстановка , де s – знаменник числа р.

У всіх останніх випадках інтеграли типа не виражаються через відомі елементарні функції.

Приклад. Знайти інтеграл I = .

Оскільки диференціальний біном -

то . Тому робимо підстановку

тоді , . В результаті

I = =

= .

Приклади для самостійного розв‘язання

Знайти інтеграл

1) . 2) . 3) . 4) . 5) .

6) . 7) . 8) . 9) . 10) .

11) . 12) . 13) . 14) .

15) . 15) . 16) 17)

18) 19) 20)