6.4. Інтегрування тригонометричних функцій

Більшість інтегралів від тригонометричних функцій часто не можна обчислити аналітично, тому розглянемо деяких основних типів функцій, які можна проінтегрувати.

Універсальна тригонометрична підстановка

Розглянемо деякі випадки знаходження інтеграла вигляду , де R – раціональна функція від змінних sinx і cosx.

Інтеграли цього вигляду обчислюються за допомогою підстановки . Ця підстановка дозволяє перетворити тригонометричну функцію в раціональну.

,

Тоді

Таким чином:

Описане вище перетворення називається універсальною тригонометричною підстановкою.

Приклад.

Безперечною достойністю цієї підстановки є те, що з її допомогою завжди можна перетворити тригонометричну функцію в раціональну і обчислити відповідний інтеграл. До недоліків можна віднести те, що при перетворенні може вийти досить складна раціональна функція, інтегрування якої буває вельми громіздким.

Проте при неможливості застосувати більш раціональну заміну змінною цей метод є єдино результативним.

Приклад.

На практиці застосовують і інші, простіші підстановки, залежно від властивостей підінтегральної функції. Інколи зручні наступні правила:

1) якщо функція R є непарною відносно cosx. В цьому випадку зручно скористатися підстановкою sin x = t

Не дивлячись на можливість обчислення такого інтеграла за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, раціональне застосувати підстановку sin x = t .

Приклад.

Взагалі кажучи, для вживання цього методу необхідна лише непарність функції відносно косинуса, а степінь синуса, що входить у функцію може бути будь-якій, як цілою, так і дробом.

2) якщо функція R є непарною відносно sinx. В цьому випадку застосовується підстановка cos x = t

Приклад.

=

= = =

3) якщо функція R парна відносно sinx і cosx. В цьому випадку інтеграл раціоналізується підстановкою tgx = t. Така ж підстановка застосовується, якщо інтеграл має вигляд

Приклад.

Інтеграли типа

Для знаходження таких інтегралів застосовуються наступні підстановки:

1. sin x = t, якщо n – ціле позитивне непарне число;

2. cos x = t, якщо m – ціле позитивне непарне число;

3. tg x = t, якщо m + n – парне негативне ціле число;

4. якщо m і n – цілі парні ненегативні числа, то для пониження порядку використовуються формули

, .

Приклад.

Приклад.

Інтеграли типа , ,

обчислюються за допомогою формул

,

,

.

Приклад.

Приклад.

6.5. Інтегрування деяких ірраціональних функцій

Розглянемо деяки типи інтегралів, що містять ірраціональні функції. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосувати підстановку, яка перетворює цю функцію до раціональної форми, інтеграл від якої може бути знайдений.

Інтеграл вигляду , де n- натуральне число.

За допомогою підстановки функція раціоналізується

Тоді

Приклад.

=

Якщо до складу ірраціональної функції входить коріння різних степенів, то у якості нової змінної треба узяти корінь степені, рівної найменшому загальному кратному степенів коріннів, що входять у вираз. Проілюструємо це на прикладі.

Приклад.

=

Інтеграли вигляду .

Існує декілька способів інтегрування такого роду функцій. Залежно від вигляду виразу, що стоїть під знаком радикала, переважно застосовувати той або інший спосіб.

Як відомо, квадратний тричлен шляхом виділення повного квадрата може бути приведений до вигляду:

Таким чином, інтеграл наводиться до одного з трьох типів:

1. 

2. 

3. 

Можливі три способи інтегрування таких функцій.