122

6. Невизначений інтеграл.

6.1. Первісна і невизначений інтеграл.

Визначення. Функція F(x) називається первісною функцією функції f(x) на відрізку [а, b], якщо в будь-якій точці цього відрізку вірна рівність:

F((x)= f(x).

Треба відзначити, що число первісних для однієї і тієї ж функції може бути безконечне багато. Вони відрізнятимуться один від одного на деяке постійне число.

F₁(x)= F₂(x)+ C.

Визначення. Невизначеним інтегралом функції f(x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням

F(x)+ C.

Позначення невизначеного інтеграла -

. (6.1)

Тут функція f(x) називається підінтегральною, f(x) dx – підінтегральним виразом, х – змінна інтегрування, - позначення операції інтегрування (оператор інтегрування)

Умовою існування невизначеного інтеграла на деякому відрізку є безперервність функції на цьому відрізку.

Властивості невизначеного інтеграла

1. 

2. 

3. 

4. де u, v, w – деякі функції від х.

5. 

Приклад:

Знаходження значення невизначеного інтеграла пов'язане головним чином із знаходженням первісної функції. Для деяких функцій така задача виявляється складною, або неможливою. У останньому випадку мається на увазі, що первісна функція не є елементарною. Нижче будуть розглянуті способи знаходження невизначених інтегралів для основних класів функцій – раціональних, ірраціональних, тригонометричних, показникових і ін.

Таблиця основних невизначених інтегралів

З визначення первісної функції виходить, що інтегрування є операція, зворотна диференціюванню. Тому для перевірки правильності виконання інтегрування потрібно продиференціювати результат і отримати при цьому підінтегральну функцію. Для зручності проведення інтегрування нижче наводиться таблиця основних невизначених інтегралів.

Таблиця інтегралів

Інтеграл		Значення	Інтеграл		Значення
1		-lncosx+C	9		ex + C
2		lnsinx+ C	10		sinx + C
3			11		-cosx + C
4			12		tgx + C
5			13		-ctgx + C
6		ln	14		arcsin + C
7			15
8			16

Інтеграли цієї таблиці прийнято називати табличними.

Якщо операції диференціювання не виводить нас з області елементарних функцій, тобто результат диференціювання також є елементарною функцією, то для операції інтегрування справа зовсім інакша: інтеграли від деяких елементарних функцій вже не є елементарними функціями. Наведемо приклади деяких з них:

- інтеграл Пуассона (інтеграл помилок) ;

- інтегральний логарифм;

- інтегральний синус.

Інтеграли, що приведені вище, прийнято називати інтегралами, що не «беруться». Кожен з цих інтегралів не є елементарною функцією, проте вони мають велике значення в прикладній математиці.