4.5.12. Властивості функцій, безперервних на відрізку
Визначення. Функція f(x) називається безперервною на інтервалі (відрізку), якщо вона безперервна у будь-якій точці цього інтервалу (відрізку).
При цьому не потрібно безперервність функції на кінцях відрізку або
інтервалу, потрібна тільки одностороння безперервність на кінцях відрізку або інтервалу.
Безперервні
на відрізку
функції мають ряд важливих властивостей.
Властивість 1. Функція, безперервна на відрізку, обмежена на цьому відрізку.
Властивість 2. Функція, безперервна на відрізку [a, b], приймає на нім найбільше і найменше значення.
Властивість 3. Функція, безперервна на відрізку [a, b] і що має на його кінцях нерівні значення f(a) = A і f(b) = B, те на цьому відрізку вона набуває усіх проміжних значень між А і В.
Властивість 4. Якщо функція f(x) - безперервна на відрізку [a, b] і має на кінцях відрізку значення протилежних знаків, то існує така точка усередині цього відрізку, де f(x) = 0.
Задачі для самостійного розв‘язку.
Зайти границі для функції цілочислового аргументу
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
.
8)
.
9)
.
10)
11)
12)
Зайти границі для функції
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
4.5.13. Обчислення границі функції в середовищі Maxima
Границя функції f(x) при x → a обчислюється за допомогою функції
limit(f(x), x, a);
Розглянемо приклади:
1) Знайти
границю
Розв’язок: виконуємо команду
(%i1) limit(sin(x)/x,x,0);
Результат на екрані:
(%o1) 1
2) Знайти
границю
(%i2) limit((1+cos(%pi*x))/(tan(%pi*x)^2),x,1);
(%o2) 1/2
Задачі для самостійного розв‘язку
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
. 11)
12)
13)
15)
16)
