4.5.7. Нескінченно малі функції і їх властивості
Визначення.
Функція
f(x)
називається нескінченно
малою
при х
а
, де а
може бути числом або одній з величин ,
+
або -,
якщо
.
Теорема (про зв'язок між функцією, її межею і нескінченно малою функцією)
Для того, щоб функція f(x) при х а мала границю, яка дорівнює А, необхідно і достатньо, щоб поблизу точки х = а виконувалася умова
f(x) = A + (x),
де (х) - нескінченно мала при х а ( (х) 0 при х а ).
Властивості нескінченно малих функцій:
1) Сума кінцевого числа нескінченно малих функцій при х а теж нескінченно мала функція при х а .
2) Добуток кінцевого числа нескінченний малих функцій при х а теж нескінченно мала функція при х а .
3) Добуток нескінченно малої функції на функцію, обмежену поблизу точки х = а є нескінченно малою функцією при х а.
4) Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю - величина нескінченно мала.
4.5.8. Нескінченно великі функції їх властивості і зв'язок з нескінченно малими.
Визначення. Якщо функція α (x) при х а є нескінченно малою функцією, то функція f(x) = 1/α (x) називається нескінченно великою функцією при х а
Графічно поведінка нескінченно великих функцій в а при х а можна проілюструвати таким чином:
.
Визначення.
Функція
називається нескінченно
великою
при х
а ,
де а
- число або одна з величин ,
+
або -,
якщо
,
де А
- число або одна з величин ,
+
або -.
Зв'язок нескінченно великих і нескінченно малих функцій здійснюється відповідно до наступної теореми.
Теорема. Якщо f(x) 0 при х а (якщо х ) і не звертається в нуль, то
.
4.5.9. Основні теореми про границі
Теорема
1.
,
де С
= const.
Наступні теореми справедливі при припущенні, що функції f(x) і g(x) мають кінцеві границі при х а.
Теорема
2.
Доведення
теореми. Зобразимо f(x)
= A
+ (x),
g(x)
= B + (x),
де
,
Тоді f(x) g(x) = (A + B) + (x) + (x)
A + B = const, (х) + (х) – нескінченно мала, тому
.
Теорема доведена.
Теорема
3.
Доведення теореми. Зобразимо f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), де ,
тоді
AB = const, (х) и (х) – нескінченно малі, тому
.
Теорема доведена.
Висновок.
Теорема
4.
при
Теорема 5. Якщо f(x) > 0 поблизу точки х = а и , то А > 0.
Аналогічно визначається знак границі при f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0.
Теорема
6.
Якщо
g(x)
f(x)
u(x) поблизу точки х = а і
,
то и
.
Визначення. Функція f(x) називається обмеженою поблизу точки х = а, якщо існує таке число М > 0, що f(x) < M поблизу точки х = а.
Теорема 7. Якщо функція f(x) має кінцеву границю при х а, то вона обмежена поблизу точки х = а.
Доведення.
Нехай
,
тобто,
,
тоді
або
,
тобто
де М
=
+ А
Теорема доведена.
4.5.10. Дві особливо важливі границі.
Перша особливо важлива границя.
При обчисленні границі тригонометричних виразів часто використовується границя
.
МОВ),
хорду МВ і дотичну ВС до кола в точці В.
На рисунку |AM| = sinx,
дуга кола МВ чисельно дорівнює центральному
куту х,
а |BC| = tgx.
Очевидно, що має місце нерівності площ
відповідних фігур
. Площа трикутника Δ МОВ рівна
або
.
Площа сектора МОВ рівна
. Площа трикутника Δ СОВ рівна
або
.
На підставі попередньої нерівності площ маємо
<
<
.
Поділимо нерівності на
> 0 (у припущенні, що
),
отримаємо
<
<
.
Тому що
и
,
то по теоремі 6 існує границя
.
Нехай
тепер x
< 0. Тоді
, де -
х
> 0. Тому
В
результаті
. (4.1)
Ця границя називається першою чудовою границею.
Друга особливо важлива границя.
Розглянемо
послідовність an
=
.
Можна
показати, що ця послідовність є такою,
що монотонно зростає і обмежена зверху,
тобто має кінцеву межу.
Цю границю прийнято означати буквою е.
число е ірраціональне і його значення дорівнює 2,71828…
Якщо
розглянути нерівність
Знайдемо
або
(4.2)
Ця границя називається другою чудовою границею.
Число е є основою натурального логарифма.
Вище представлений графік функції y = lnx.
Висновок
1.
.
Ця
границя виходить з (4,2), якщо зробити
заміну змінною
.
Висновок
2.
.
Дійсно,
= ln
e
= 1.