4.5.4. Складна функція

Нехай функція z = φ (х) з множиною значень Z, визначена на множині Х і на множині Z також визначена функція у = f(z) з множиною значень Y, тоді функція у = f[φ (х)] називається складною функцією від аргументу х, а змінна z називається проміжною змінною складної функції.

Наприклад, складна функція, визначена на множині (-∞, 0) (-1, +∞), оскільки у = f (z) = , z = φ (х) = .

4.5.5. Основні елементарні функції

4.5.5. Основні елементарні функції

Елементарні функції, що вивчаються в шкільному курсі математики, є математичними моделями простих механічних, фізичних та ін. явищ. Наприклад, тригонометричні функції і добре описують коливальні рухи.

Основними елементарними функціями називають наступні функції.

1) Степенева функція , де α - дійсне число.

2) Показникова функція .

3) Логарифмічна функція .

4) Тригонометричні функції: , , , .

5) Обернені тригонометричні функції: : , , , .

6) Алгебраїчною функцією називається функція в якій над аргументом робиться кінцеве число операцій (складання, віднімання, множення, ділення, піднесенні до степеня, добування кореня, розв’язання алгебраїчних рівнянь) алгебри.

Всяка неалгебраїчна функція називається трансцендентною.

Прості типи алгебраїчних функцій :

1) Ціла функція (многочлен або поліном) -

,

над аргументом х виконуються дії складання, віднімання, множення і піднесення в цілу позитивну степінь.

2. Дробово-раціональна функція

,

над аргументом х робиться ще дія ділення.

2. Ірраціональна функція: над аргументом х виконується ще дія добування кореня. Наприклад, .

4.5.6. Границя функції

Нехай функція f(x) визначена в деякій околиці точки х = а (тобто в самій точці х = а функція може бути і не визначеною)

Рис. 4.1

Визначення. Число А називається границею функції f(x) при х  а , якщо для будь-кого  > 0 існує таке число δ > 0, що для усіх х таких, що

0 < x - a < δ

вірна нерівність f(x) - A< .

Те ж визначення може бути записане в іншому виді:

якщо а - δ < x < a + δ, x  a , то вірна нерівність А -  < f(x) < A + .

Позначення границі функції f(x) при х  а : .

При визначенні границі функції передбачається, що х прагне до а довільним чином: залишаючись менше, ніж а (зліва від а), більшим, ніж а справа від а), або може коливатися біля точки а. Тому має зміст ввести поняття односторонніх границь.

Визначення. Якщо f(x)  A₁ при х  а тільки при x < a, то - називається границею функції f(x) в точці х = а зліва, а якщо f(x)  A₂ при x > a тільки при x > a, то називається границею функції f(x) в точці х = а справа ( рис. 4.2).

Рис. 4.2.

Таким чином, умова існування границі функції зводиться до того, що при х  а для функції f(x) повинні існувати лівостороння і правостороння границя і при цьому вони мають бути рівними.