4.2. Числові проміжки

Нехай a і b - два числа, причому a < b. Числовими проміжками називаються множина усіх дійсних чисел, що задовольняють нерівності :

1) a ≤ х ≤ b - відрізок (сегмент), позначення - [a, b]

різниця b - a називається довжиною відрізка;

2) a < х < b - інтервал, позначення - (a, b);

3) a ≤ х < b - півінтервал, позначення - [a, b);

4) a < х ≤ b - півінтервал, позначення - (a, b];

5) нескінченні інтервали

x ≤ b , (-∞, b]; x < b , (-∞, b); x ≥ a , [a, +∞); x > a , (a, +∞);

6) множина дійсних чисел -∞ < x <+∞), (-∞, +∞).

Числа a і b називаються відповідно лівим і правим кінцями цих проміжків.

Символи - ∞, +∞ не числа, а символічні позначення нескінченно видалених точок числової осі від початку 0 вліво та управо.

4.3. Абсолютна величина числа і її властивості

Абсолютна величина дійсного числа визначається наступним співвідношенням:

.

Властивості абсолютної величини

1. | a | ≥ 0;

2. | a | = | - a |;

3. Нехай ε - позитивне число. Тоді нерівності | a | ≤ ε і - ε ≤ а ≤ ε рівносильні;

4. | a + b | ≤ | a | + | b |;

5. | a - b | ≥ | a | - | b |;

6. | a ∙ b | = | a | ∙ | b |;

4.4. Числові послідовності

Визначення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число х_n, то говорять, що задана послідовність

{x_n} = x₁, х₂, …, х_n

Послідовність можна задати різними способами - головне, щоб був вказаний спосіб отримання будь-якого члена послідовності.

Наприклад: x_n = (-1)ⁿ або {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

x_n = sin(n/2) або {x_n} = 1; 0; 1; 0; …

загальний член послідовності x_n = .

Визначення. Число а називається границею послідовності {x_n}, якщо для будь-якого позитивного  > 0 існує такий номер N, що для усіх n > N виконується умова:

Послідовність, що має границю, називається

Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Якщо а – границя послідовності, то це записується так:

або х_n → a при n → ∞.

Послідовність, що не має границі, називається розбіжною.

4.5. Функції однієї змінної

4.5.1. Функціональна залежність

Визначення. Нехай Х і Y - деяка безліч дійсних чисел. Запропонуємо, що кожному елементу х безлічі Х за деяким законом або способом f поставлений у відповідність певний елемент у безлічі Y, то говорять, що на множині Х задана функціональна залежність (функція) у = ƒ(х) (або відображення множини Х на множину Y). При цьому х називається незалежною змінною (аргументом), у - залежній змінній, безліч Х - областю визначення (існування) функції ƒ, а елементи у = ƒ (х) утворюють область значень функції - Y.

Слід зазначити, що функціональна залежність є математичною моделлю будь-яких процесів і явищ для детермінованих подій, що відображають причинно-наслідкові взаємодії. Наприклад, велика частина фізичних законів представляються у вигляді функцій.

Візуалізація функціональної залежності була розглянута в розділі 3.7 (графічні можливості Maxima) цього навчального посібника.

Існують три способи завдання функцій :

а) аналітичний спосіб, якщо функція задана формулою виду у = f(х).

Наприклад, 1) у = х² + 1 . Областю визначення функції є множина

Х = (-∞, ∞), область значень являється множина Y = [0, ∞);

2) f(х) = 3х² + х – 1. Область визначення функції - Х = (-∞, ∞)

а область значень - Y = [- 13/12, ∞);

б) табличний спосіб полягає в тому, що функція задається таблицею, що містить значення х і відповідні значення f(х), наприклад, таблиця логарифмів.

в) графічний спосіб, полягає в зображенні графіку функції - множина точок (х, у) площини, абсциси яких є значення аргументу х, а ординати - значення функції, що відповідають їм, у = f(х).