2.3. Визначники

Кожній квадратній матриці А порядку n ставиться у відповідність деяке число, яке називається визначником цієї матриці.

Позначення: det A (або | A | , або Δ_A ).

Визначення 2.6. Визначником матриці 1-го порядку (тобто матриці, що складає з одного елемента, одного числа) називається саме число, що утворює задану матрицю.

Визначення 2.7. Визначником матриці 2-го порядку називається число, яке утримується за допомогою елементів квадратної матриці 2-го порядку наступним чином:

.

Визначення 2.8. Визначник третього порядку обчислюється по формулі:

При обчисленні визначників 3-го порядку зручно користуватися правилом трикутників, що символічно можна представити так:

Приклади. Обчислити визначник третього порядку

1.

2.

Для обчислення визначника матриць 4-го й більше високих порядків розглянемо додаткові поняття. Розглянемо визначник матриці А n-го порядку

Δ_n = .

Визначення 2.9. Виділимо в ньому який-небудь елемент a_ij і викреслимо i-ий рядок й j-й стовпець, на перетинанні яких розташований цей елемент. Отриманий визначник (n -1)-го порядку називається мінором M_ij елемента a_ij визначника Δ_n .

Визначення 2.10. Найбільший порядок мінорів матриці А, відмінних від нуля, називається рангом матриці.

Визначення 2.11. Алгебраїчним доповненням елемента a_ij визначника Δ_n називається число

A_ij = (-1)^i+j M_ij .

Визначення 2.12. Визначник n-го порядку Δ_n обчислюється сумою добутку елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення

Δ_n = = , 1 ≤ i,k ≤ n. (2.4)

Приклад. Обчислимо визначник 4-го порядку за допомогою розкладання по 2-му стовпцю. Для цього знайдемо і :

Отже,

Квадратична матриця А називається невиродженою, якщо визначник Δ = det A ≠ 0. В противному випадку (Δ = 0) матриця А называется виродженої.

Визначення 2.13. Матриця А^-1 называється зворотній матриці А, якщо виконується умова

А А^-1 = А^-1 А = Е , (2.5)

де Е - одинична матриця того ж порядку, що й матриця А. Відзначимо, що для выродженої матриці зворотна матриця не існує.

Основні властивості визначників.

1. Визначник, що має нульовий рядок (стовпець), дорівнює нулю.

2. При перестановці двох рядків (стовпців) визначник міняє знак.

3. Визначник, що має дві однакові рядки(однакові стовпці), дорівнює нулю.

4. Загальний множник будь-якого рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.

5. Якщо кожен елемент деякого рядка (стовпця) визначника Δ_n представлений у вигляді суми двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі двох визначників.

Пояснимо це на прикладі визначника 3-го порядку

4. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), які помножені на те саме число.

5. При транспонуванні матриці її визначник не змінюється.

Приклади для самостійного рішення

Обчислити визначники

1) . 2) . 3) .

4) . 5) . 6) .