3.2. Задачі векторної алгебри для самостійного розв’язання

3.1 Знайти координати вектора та його довжину, якщо задано

координати цих точок: М₁(2; -3; 4), М₂(-3; -5; 2).

Відповідь:

3.2. Знайти орт вектора - , якщо задано вектори і : (2; -3; -1),

(-3; -1; 2).

Відповідь:

3.3. Знайти кут між векторами і : (5; 3; -4) , (4; -1; 2).

Відповідь:

3.4. При яких значеннях m i n вектори { m+2; 2; -1} i {3; n-1; 2}

колінеарні.

Відповідь:

3.5. При якому значенні х вектори { х; х; -1} I {х; -1; 2} ортогональні.

Відповідь:

3.6. Визначити скалярний добуток , якщо задано координати

точок А, В і С: А(3; 4; -6), В(-3; 2; 1), С(-1; 0; -3).

Відповідь:

3.7. Знайти проекцію вектора на вектор . Задано координати цих

векторів: (5; 3; -4) , (4; -1; 2).

Відповідь:

3.8. Задано вершини трикутника АВС ( координати точок А, В і С відомі).

Знайти кут АСВ. А(3; 4; -6), В(-3; 2; 1), С(-1; 1; -3).

Відповідь:

3.9. Задано вершини трикутника АВС ( координати точок А, В і С відомі).

Знайти площу трикутника. А(2; 4; -6), В(-3; -2; 1), С(-1; 1; -3).

Відповідь:

3.10. Задано координати векторів і . Визначити вектор .

(5; 2; -2) , (3; -1; 2).

Відповідь:

3.11. Знайти орт вектора , якщо відомі координати векторів і

: (1; 3; -4) , (3; -1; 2).

Відповідь:

3.12. Задано вершини трикутника АВС ( координати точок А, В і С відомі),

обчислити периметр трикутника АВС. А(3; 4; -6), В(-3; 2; 1), С(-1; 1; -3).

Відповідь:

3.13. Задано координати векторів , і . Знайти мішаний добуток

векторів . (1; 3; -4), (3; -1; 2), (1; -1; 3).

Відповідь:

3.14. Визначити орт добутку , якщо задано координати точок А, В і

С. А(2; 3; -6), В(-3; 2; -1), С(-1; 2; -3).

Відповідь:

3.15. Знайти площу і висоту трикутника, вершинами якого є:

.

Відповідь: S = 7 , h =

3.16. Визначити кути трикутника з вершинами , і .

Відповідь:

Задані координати точок А(1,2,-3), B(-1,1,4), C (0,3,-5), D(2,-2,3). Знайти:

3.17. Відповідь:

3.18. пр Відповідь:

3.19. орт Відповідь:

3.20. Відповідь:

3.21. пр Відповідь:

3.22. Відповідь:

3.23. Відповідь:

3.24. Відповідь:

3.3. Основні поняття і формули аналітичної геометрії

Відстань між двома точками А(х₁,у₁,z₁) і В(х₂,у₂,z₂) в просторі Охуz.

дорівнює довжині вектора AB(x₂–x₁,y₂–y₁,z₂–z₁),

тобто d = | AB | = . (3.18)

Ділення відрізку в заданому відношенні. Точка М(х, у, z), яка поділяє відрізок АВ у відношенні λ має координати

, . . (3.19)

3.3.1. Аналітична геометрія в просторі

Загальне рівняння площини

A x + B y + C z + D = 0. (3.20)

Вектор = (А, В, С) – нормальний вектор до площини (3.20)

Рівняння площини, яка проходить через три точки М₁(х₁,у₁,z₁), М₂(х₂,у₂,z₂), і М₃(х₃,у₃,z₃):

= 0 . (3.21)

Рівняння площини у відрізках - . (3.22)

Кут між двома площинами

. (3.23)

Умова паралельності двох площин . (3.24)

Умова перпендикулярності площин А₁ А₂ + B₁ B₂ + C₁ C₂ = 0. (3.25)

Відстань від точки М₀(х₀,у₀,z₀) до площини

d = . (3.26)

Канонічні рівняння прямої у просторі . (3.27)

де вектор = (m,n,p) - направляючий вектор (він паралельний прямій).

Параметричне рівняння прямої . (3.28)

Рівняння прямої, що проходить через дві точки М₁(х₁,у₁,z₁) і М₂(х₂,у₂,z₂)

. (3.29)

Загальне рівняння прямої . (3.30)

Канонічні рівняння прямої мають вигляд:

. (3.31)

Кут між прямою і площиною

. (3.32)

Умова паралельності прямої і площини

A m + B n + C p = 0. (3.33)

Умова перпендикулярності прямої і площини (3.34)