Первообразная функция. Неопределенный интеграл.
F(x) называется первообразная для функций f(x), если производная F’(x)=f(x). Если F(x) – первообразная для f(x), то F(x)+C/
(F(x)+C)=F’(x)
Совокупность всех первообразных для данной функции называется неопределенным интегралом этой функции.
∫f(x)d(x)
Основные методы интегрирования.
непосредственное интегрирование
Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием
интегрирование подстановкой (метод замены переменной)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:
Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то
Формула НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА - основная формула интегрального исчисления. Выражает связь между определенным интегралом от функции f(x) и какой-либо ее первообразной F(x).